Дискретті кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары

Кездейсоқ шама өзiнiң үлестiрiм заңымен толық сипатталады. Бiрақ күнделiктi өмiрде кездейсоқ шаманың барлық мүмкiн мәндерi мен сәйкес ықтималдықтарын толық бiлу мiндеттi емес. Кездейсоқ шама жөнiнде бiлгiмiз келген кейбiр деректердi оның басқа да сипаттамаларына қарап анықтай алады екенбiз. Мұндай сипаттамаларға кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi, дисперсиясы, орта квадраттық ауытқуы және т.б. сандық сипаттамалары жатады.

1. Кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi. Мерген нысананы көздеп атқанда, мынадай ұпайларға алды: 6, 7, 8, 9, 10. Мергеннiң орташа ұпайы х_орт= 8.

Жеткiлiктi деп санауға болатын атулардан кейiн осы ұпайларды алудың ықтималдығы есептелiп, үлестiрiм заңы жазылды

Х	10	9	8	7	6
p	0,01	0,1	0,15	0,25	0,49

Әр ұпайды алудың ықтималдығы белгiлi болғаннан кейiн мергеннiң орташа ұпайы басқаша болатынын аңғару қиын емес.

Мынадай анықтама енгiзейiк.

Анықтама. Кездейсоқ шаманың барлық мүмкiн мәндерiн сәйкес ықтималдықтарына көбейтiп қосқаннан шыққан санды кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi деп атайды да, М(Х) деп белгiлейдi.

Математикалық үмiт кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерi қандай сан маңайында шоғырланғанын көрсетедi. Математикалық үмiттi “орта шама” немесе “үлестiрiм центрi” деп те айтады. Кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы кесте түрiнде берiлсе,

Х	х1	х2	...	xn
p	р1	р2	...	рn

онда М(Х) мынаған тең болады:

М(Х) = х₁р₁+х₂р₂+...+х_np_n.

Ендi қарастырған мысалдағы мерген ұпайларының математикалық үмiтiн есептеп көрейiк.

М(Х) = 100,01+90,1+80,15+70,25+60,49= 6,89.

Сонда мергеннiң ұпайлары Х_орт=8 орта мәннiң маңайында емес, М(Х)= 6,89 математикалық үмiт маңайында шоғырланған.

Математикалық үмiттiң мынадай қасиеттерi бар:

1-қасиет. Тұрақты шаманың математикалық үмiтi сол шаманың өзiне тең

М(С) = С.

2-қасиет. Тұрақты шаманы математикалық үмiт таңбасы алдына шығаруға болады

М(СХ) = СМ(Х).

3-қасиет. Екi кездейсоқ шама қосындысының математикалық үмiтi олардың математикалық үмiттерiнiң қосындысына тең

М(Х+У) = М(Х)+М(У).

4-қасиет. Тәуелсiз екi кездейсоқ шама көбейтiндiсiнiң математикалық үмiтi олардың математикалық үмiттерiнiң көбейтiндiсiне тең

М(ХУ) = М(Х)М(У).

Кездейсоқ шаманың математикалық үмiттен ауытқуын табуға болады. Мысалда қарастырған мерген ұпайларының М(Х) = 6,89 математикалық үмiттен ауытқуын табайық. Ол үшiн мынадай екi кездейсоқ шамалар қосындысының үлестiрiм заңын табу жеткiлiктi

Х	10	9	8	7	6		М(Х)	-6,89
р	0,01	0,1	0,15	0,25	0,49		р	1

Сонда Х-М(Х) ауытқудың үлестiрiм заңы мынадай болады:

Х-6,89	3,11	2,11	1,11	0,11	-0,89
р	0,01	0,1	0,15	0,25	0,49

Ендi осы Х-6,89 кездейсоқ шаманың математикалық үмiтiн табайық

М(Х-6,89)=3,110,01+2,110,1+1,110,15+0,110,25-0,890,49=0

5-қасиет. Кездейсоқ шаманың математикалық үмiттен ауытқуының математикалық үмiтi нөлге тең

М(Х-М(Х))=0.

Осы қасиеттердiң қолданысын көрсететiн мысал қарастырайық. Тәуелсiз Х және У кездейсоқ шамаларының математикалық үмiттерi сәйкес 7-ге және 9-ға тең.

а) 3Х, б) Х+У, в) ХУ кездейсоқ шамаларының математикалық үмiтiн табайық.

Шешуі. М(Х)=7, M(У)=9. а) 3Х кездейсоқ шаманың математикалық үмiтiн табу үшiн 2-қасиеттi қолданамыз. Мұндағы тұрақты сан 3, олай болса

М(3Х) =3М(Х) =37=21.

б) Х+У кездейсоқ шаманың математикалық үмiтiн табу үшiн 3-қасиеттi қолданамыз. Сонда

М(Х+У) = М(Х)+М(У)=7+9=16.

в) ХУ кездейсоқ шаманың математикалық үмiтiн табу үшiн 4-қасиеттi қолданамыз. Сонда

М(ХУ) = М(Х) М(У)=79=63.