18.Сформулировать задачи Дирихле и Неймана.
19.Функция Грина задачи Дирихле и ее свойства.
20.Связь функции Грина для плоских областей с конформными отображениями.
21.Сформулировать теоремы Фредгольма.
22.Потенциал простого слоя и его свойства.
23.Потенциал двойного слоя и его свойства.
24.Сформулировать теорему о разрешимости внутренней задачи Дирихле через потенциалы.
25.О разрешимости задач Неймана.
4. ПРЕДЛАГАЕМЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Предлагаем варианты типовых контрольных работ, закрепленных за соответствующими модулями. Они будут хорошим материалом для самопроверки и подготовки к самим контрольным работам.
4.1. Задания для модуля 1.
Тема: классификация уравнений и приведение их к каноническому виду. Вариант №1.
1. Найти частное решение уравнения
|
|
3x |
∂2u |
−2y |
|
∂2u |
+ |
∂u |
=0 , |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∂x2 |
|
∂x∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
удовлетворяющее условиям: u |
|
|
|
=3y3 −2y , ∂u |
|
= y +5 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=1 |
∂x |
|
x=1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Пусть уравнение уже приведено к каноническому виду |
|||||||||||||||||||
|
|
|
∂ |
2u |
|
−2 |
∂u |
=0 |
при ξ = 2x −3y, η =3x + 2y . |
||||||||||||
|
|
|
∂ξ∂η |
∂η |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти |
его |
|
частное |
|
решение, |
удовлетворяющее условиям: u |
|
x=0 =6y −1, |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂x |
|
x=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
32
3. Указать одну из подстановок, приводящих данное уравнение к каноническому виду. Указать тип уравнения и ожидаемый канонический вид:
а)
б)
в)
sin2 y |
∂2u |
+cos4 x |
∂2u |
+ |
∂u |
=0, |
|
∂x2 |
|
∂y2 |
|
∂x |
|
e2x ∂2u −2ex
∂x2
x2 ∂2u −2xy
∂x2
∂2u + ∂2u +3 ∂u =0 , ∂x∂y ∂y2 ∂y
∂2u |
+(9 + y |
2 |
) |
∂2u |
− |
∂u |
=0 . |
∂x∂y |
|
∂y2 |
∂x |
||||
|
|
|
|
|
Вариант №2.
1. Привести к каноническому виду уравнение
9x2 ∂2u −6xy ∂2u + y2 ∂2u + y ∂u =0 .
∂x2 ∂x∂y ∂y2 ∂y
2. Найти частное решение уравнения
∂2u + ∂2u − ∂2u +3 ∂u ∂x2 ∂x∂y ∂y2 ∂x
+3 ∂∂uy =0, удовлетворяющее условиям:
u |
|
|
= f (x), |
∂u |
|
= F(x) . |
|
|
|
||||
|
|
|||||
|
|
y=0 |
|
∂y |
|
y=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2. Задания для модуля 2
Тема: Решение однородных начально-краевых задач методом Фурье. Стационарные неоднородности.
Вариант № 1.
1. Решить начально-краевую задачу
∂2u |
= a |
2 |
∂2u |
, |
0 ≤ x ≤ , |
t ≥0; |
u(0,t) |
=0, |
∂u |
( ,t) =0 ; |
|
|
|||
∂t2 |
|
∂x2 |
|
∂x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u(x,0) = x, ∂u (x,0) =3sin πx |
−2sin 5πx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∂t |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2. Решить начально-краевую задачу |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∂u |
= a2 ∂2u |
|
, |
0 ≤ x ≤ , |
t ≥0; |
∂u (0,t) =0, |
∂u |
( ,t) =0 |
; u(x,0) |
=sin2 πx . |
|||||
∂t |
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. В области 0 ≤ x ≤ , t ≥0 найти решение уравнения |
|
||||||||||||||||||||
∂2u |
= a |
2 ∂2u |
|
+ 4cos |
2πx |
, удовлетворяющее условиям |
|
||||||||||||||
∂t2 |
|
∂x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂u (0,t) =0, |
|
∂u ( ,t) =0 |
, u(x,0) =6sin |
2 |
3πx |
, |
∂u (x,0) =5cos |
5πx . |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
||
2. В области 0 ≤ x ≤ , t ≥0 найти решение уравнения |
|
||||||||||||||||||||
∂2u |
= a |
2 ∂2u |
|
+ Ax , удовлетворяющее условиям |
|
||||||||||||||||
∂t2 |
|
∂x2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(0,t) =0, u( ,t) = |
|
A 3 |
|
, |
u(x,0) =0, |
∂u |
(x,0) =0 . |
|
|||||||||||||
2a2 |
∂t |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.3. Задания для модуля 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тема: неоднородные начально-краевые задачи. |
|
||||||||||||||||||||
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Решить начально-краевую задачу |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∂2u |
= a |
2 ∂2u |
|
+ q, 0 ≤ x ≤ , t ≥0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∂t2 |
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(0,t) =0, |
∂u ( ,t) =0 ; |
u(x,0) =0, |
∂u |
(x,0) =0 . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
||||
2. Решить начально-краевую задачу |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∂u |
= a2 ∂2u |
, |
0 ≤ x ≤ , |
|
t ≥0; u(0,t) =t2 , ∂u |
( ,t) = 2 ; u(x,0) = 2x . |
|||||||||||||||
∂t |
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|||
Вариант2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. В области 0 ≤ x ≤ , t ≥0 найти решение уравнения |
|
||||||||||||||||||||
∂2u |
= a |
2 ∂2u |
|
+ g , удовлетворяющее условиям |
|
||||||||||||||||
∂t2 |
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(0,t) =0, |
∂u |
( ,t) =0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(x,0) = |
g |
|
( |
2 x − x2 )+3sin |
3πx |
, |
∂u (x,0) =5sin 5πx . |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∂t |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
2. . В области 0 ≤ x ≤ , t ≥0 найти решение уравнения
∂u = a2 ∂2u + hx( − x), удовлетворяющее условиям
∂t ∂x2
u(0,t) =0, u( ,t) =0, u(0,t) =ϕ(x) .
4.4. Задания для модуля 4
Тема: задачи для эллиптических уравнений. Вариант 1.
1. В области x2 + y2 ≤ 4 найти частное решение уравнения
∂2u + ∂2u = 2xy , обращающееся в нуль на границе.
∂x2 ∂y2
2. В области 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤b найти частное решение уравнения
∂2u |
+ |
∂2u |
=3sin |
πx |
+9sin |
3πx |
, обращающееся в нуль на границе. |
|
∂x2 |
∂y2 |
a |
a |
|||||
|
|
|
|
5. ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТА ПРИ МОДУЛЬНОМ ПОСТРОЕНИИ КУРСА «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»
Данная учебная дисциплина содержит 4 учебных модуля, завершающихся контрольными работами. Данная форма контроля предполагает оценку по 5-ти балльной системе. Для каждого из модулей определена трудоемкость в долях и форма контроля знаний (контрольная работа или индивидуальное задание). Трудоемкость модуля (WM) определяется преподавателем, учитывающим объем и сложность материала, составляющего этот модуль, и его важностью в системе выделенных модулей. В таблице (столбец 3) приведены предлагаемые значения трудоемкости для каждого модуля в долях единицы. Сумма этих величин должна быть равна единице. В столбце 4 для каждого модуля определена форма контроля .
В течение семестра студент, выполняющий в рамках каждого модуля контрольную работу, накапливает свою рейтинговую оценку (OR ):
35
OR = ∑4 Wn On ,
n=1
∑ -означает суммирование по изученным модулям,
On - оценка по 5-ти балльной системе знаний студента по модулю. Wn - трудоемкость модуля.
Рейтинговая оценка знаний студента OR может принимать значения от единицы до пяти (минимальной оценкой считаем 1). Значение 5 получаем только в том случае, когда по всем модулям студент получит 5. Соответственно рейтинговая оценка 1 означает, что по всем контрольным студент получил 1, то есть минимальное количество баллов.
Описание модульной структуры курса «Уравнения математической физики»
№ |
Название модуля |
|
Трудоемкость |
Форма |
контроля |
||
п.п. |
|
|
|
модуля |
(в |
(оценивается по 5- |
|
|
|
|
|
долях) |
|
ти |
балльной |
|
|
|
|
(Wn ) |
|
системе) |
|
|
|
|
|
|
|
(On ) |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
1 |
Квалификация квазилинейных |
|
0,2 |
|
Контрольная |
||
|
уравнений второго порядка. Общее |
|
|
работа |
|
||
|
решение. Решение задачи Коши |
|
|
|
|
|
|
|
методом характеристик. |
|
|
|
|
|
|
2 |
Уравнения гиперболического типа. |
0,3 |
|
Контрольная |
|||
|
Решение начальнокраевых задач |
|
|
работа |
|
||
|
методом Фурье. |
|
|
|
|
|
|
3 |
Уравнения |
параболического |
типа. |
0,25 |
|
Контрольная |
|
|
Решение начально-краевых задач для |
|
|
работа |
|
||
|
уравнений |
теплопроводности |
и |
|
|
|
|
|
диффузии. |
|
|
|
|
|
|
4 |
Уравнения эллиптического типа. |
|
0,25 |
|
Контрольная |
||
|
|
|
|
|
|
работа |
|
Итого: |
|
|
1,0 |
|
|
|
|
Итоговая оценка знаний студента по курсу складывается из рейтинговой оценки знаний студента OR (в общем случае эта оценка может задаваться
36
дробным числом) и экзаменационной оценки OE и находится по таблице итоговых оценок по курсу.
Таблица итоговых оценок по курсу
Экзаменационная |
Область, которой |
Итоговая оценка OI |
оценка OE |
принадлежит рейтинговая |
|
|
оценка OR |
|
5 |
[4,5] |
5 |
[3,4) |
4 |
|
|
[1,3) |
3 |
4 |
[4,5] |
4 |
[3,4) |
4 |
|
|
[2,3) |
3 |
|
[1,2) |
2 |
3 |
[4,5] |
4 |
[2,4) |
3 |
|
|
[1,2) |
2 |
2 |
[1,5] |
2 |
|
|
|
37