3. Числовые характеристики дискретных случайных величин

3.1. Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: ^{М(Х)= х}₁^р₁^{+ х}₂^р₂^+…+х_n^р_n^.

^{Свойства М(Х):}

1. ^{Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С.}

2. ^{Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий: М(ХУ)=М(Х)М(У).}

3. ^{Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХУ)=М(Х)М(У).}

4. ^{Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).}

5. ^{Математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании равно вероятности этого события р.}

^{ПРИМЕР 4. Найти математическое ожидание случайной величины Х}, зная закон ее распределения:

X	3	5	2
P	0,1	0,6	0,3

^{Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:}

^{М(Х)= 3×0,1+5×0,6+2×0,3=3,9.}

^{ПРИМЕР 5. Доказать, что математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании равно вероятности этого события р.}

^{Решение. Случайная величина Х – число появлений события А в одном испытании  может принимать только два значения: х}₁^{=1 (событие А наступило) с вероятностью р и х}₂^{=0 (событие А не наступило) с вероятностью q=1p. Искомое математическое ожидание равно: М(Х)=1р+0q=р.}

^{3.2. Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.}

^{3.2.1. Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:}

^{D(X)=M[XM(X)]2.}

^{Свойства D(Х):}

1. ^{Дисперсия есть величина неотрицательная: D(X)0.}

2. ^{Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С)=0.}

3. ^{Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме их дисперсий: D(ХУ)=D(Х)+D(У).}

4. ^{Дисперсия произведения взаимно независимых случайных величин равна произведению их дисперсий: D(ХУ)=D(Х)D(У).}

5. ^{Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ)=С2D(Х).}

6. ^{Дисперсия случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: D(X)=M(X2)  [M(X)]2. При расчетах дисперсию удобно вычислять по этой формуле.}

^{3.2.2. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:}

^s(X)=

^{3.3. Мода Мо – наиболее вероятное значение, т.е. это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность.}

^{ПРИМЕР 6. Найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду дискретной случайной величины Х}, заданной рядом распределения:

X	5	2	3	4
P	0,4	0,3	0,1	0,2

^{Решение. Найдем математическое ожидание:}

^{М(Х)= 5×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,2 = 0,3.}

^{Напишем закон распределения квадрата случайной величины Х 2} :

Х2	25	4	9	16
P	0,4	0,3	0,1	0,2

^{Найдем математическое ожидание Х 2:}

^{M(X2)= 25×0,4 + 4×0,3+ 9×0,1+ 16×0,2 = 15,3.}

^{Определим дисперсию:}

^{D(X)= M(X2)  [M(X)] 2 = 15,3  [0,3] 2 = 15,21.}

^{Найдем среднее квадратическое отклонение:}

^{s(Х)= = = 3,9.}

^{Определим моду: значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность р=0,4, составляет Мо= 5.}