2.4 Оценка показателей регрессии и корреляции

Проверка на существенность уравнения регрессии осуществляется с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия определяется по формуле:

,

где S²_воспр – дисперсия воспроизведенная факторами,

S²_воспр=,

W_воспр - объем вариации,

;

m-1 – число степеней свободы; m – число параметров уравнения, включающее а₀;

S²_ост – остаточная дисперсия, ;

W_ост – объем остаточной вариации (сумма квадратов отклонений),

W_ост=W₀-W_воспр, W₀ – общий объем вариации, W₀=Σ(у-)².

Фактическое значение F-критерия сопоставляется с табличным (приложение 1), найденным при доверительном уровне вероятности суждения – 0,95 и числе степеней свободы двух сравниваемых дисперсий. Если расчетное значение F-критерия больше табличного, то уравнение признается значимым.

Для оценки значимости индекса корреляции F-критерий вычисляется по формуле:

,

где n – число наблюдений; m – число параметров уравнений (α₀, α ₁, α ₂ и т.д.).

Расчетное значение F сравнивается с табличным для принятого уровня вероятности и числе степеней свободы: к₁=m-1 и к₂=n-m.

Для проверки значимости (существенности) коэффициента корреляции вычисляется его ошибка (при числе наблюдений n<50):

,

где S_r – ошибка коэффициента корреляции.

Отношение коэффициента корреляции к его ошибке есть t-критерий:

Расчетное значение t-критерия сравнивается с критическим значением, найденным в таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение2). Если t_фак≥t_теор – корреляционная связь существенна, а если t_фак<t_теор – не существенна.

Пример. По данным таблицы 8 необходимо рассчитать параметры линейного уравнения регрессии, выражающего зависимость урожайности пшеницы от плодородия почвы.

Таблица 8

Урожайность пшеницы в зависимости от плодородия почвы

Номера участков	Балл оценки земли	Урожайность пшеницы, ц с 1 га
1	30	23,5
2	35	23,7
3	35	24,0
4	38	26,7
5	29	24,3
6	40	28,8
7	45	33,5
8	37	27,6
9	35	23,0
10	40	29,4
11	50	30,5
12	52	35,0

Для определения параметров уравнения регрессии построим расчетную таблицу 8.1.

Таблица 8.1

Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений (линейная регрессия)

Номера участков	Балл оценки земли, х	Урожайность пшеницы, ц/га, у	х2	ху
1	2	3	4	5	6
1	30	23,5	900	705,0	23,01
2	35	23,7	1225	829,5	25,55
3	35	24,0	1225	840,0	25,55
4	38	26,7	1444	1014,6	27,08
5	29	24,3	841	704,7	22,50
6	40	28,8	1600	1152,0	28,09

Окончание таблицы 8.1

1	2	3	4	5	6
7	45	33,5	2025	1507,5	30,63
8	37	27,6	1369	1021,2	26,57
9	35	23,0	1225	805,0	25,55
10	40	29,4	1600	1176,0	28,09
11	50	30,5	2500	1525,0	33,18
12	52	35,0	2704	1820,0	34,19
Итого	466	330,0	18658	13100,5	330,0
В среднем	38,8	27,5	1554,8	1091,7	27,5

Подставим в систему нормальных уравнений данные из таблицы 8.1:

Для решение разделим каждое уравнение на коэффициент при α ₀ и вычтем из второго уравнения первое:

-

α ₀+38,833 α ₁=27,500

α ₀+40,039 α ₁=28,113

1,206 α ₁=0,613

откуда α ₁=0,508.

Подставим значение α₁ в любое из уравнений, найдем α₀=27,5-38,833·0,508=7,77

Таким образом, линейное представление зависимости урожайности пшеницы от оценки качества земли имеет вид:

Параметры уравнения регрессии можно определить по формулам:

;

После определения параметров уравнения регрессии рассчитываем теоретическую линию регрессии ỹ=f(х) путем подстановки значений Х в уравнение:

ỹ₁=7,77+0,508·30=23,01

ỹ₂=7,77+0,508·35=25,55

ỹ₃=7,77+0,508·35=25,55

ỹ₄=7,77+0,508·38=27,08 и т.д.

Если параметры уравнения связи определены правильно, то Σу=Σỹ=f(x). Коэффициент регрессии α ₁ показывает, на сколько единиц увеличивается результативный признак при увеличении факторного признака на единицу. В нашем примере α ₁=0,508, это значит, что с повышением плодородия почвы на 1 балл, урожайность увеличивается на 0,508 ц/га.

Проведем проверку значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Рассчитаем факторную дисперсию S²_ост, для чего построим расчетную таблицу (таблица 8.2):

Таблица 8.2

у	ỹ=f(x)	-	(-)2	-	(-)2
1	2	3	4	5	6
23,5	23,01	-4,49	20,16	-4,0	16,00
23,7	25,55	-1,95	3,80	-3,8	14,44

Окончание таблицы 8.2

1	2	3	4	5	6
24,0	25,55	-1,95	3,80	-3,5	12,25
26,7	27,08	-0,42	0,18	-0,8	0,64
24,3	22,50	-5,00	25,0	-3,2	10,24
28,8	28,09	0,59	0,35	1,3	1,69
33,5	30,63	3,13	9,80	6,0	36,00
27,6	26,57	-0,93	0,86	0,1	0,01
23,0	25,55	-1,95	3,80	-4,5	20,25
29,4	280,9	0,59	0,35	1,9	3,61
30,5	33,18	5,68	32,26	3,0	9,00
35,0	34,19	6,69	44,76	7,5	56,25
Σ 330,0	Σ 330,0	–	Σ 145,12	–	Σ 180,38

По приложению 1 найдем критическое значение F-критерия при уровне значимости 0,05 (уровень вероятности 0,95) и степенях свободы 10 и 1. оно равно 4,96. Так как расчетное значение (F=41,1) больше табличного (4,96), то уравнение признаем значимым. Для вычисления корреляционного отношения (индекса корреляции) воспользуемся данными расчетной таблицы.

Рассчитаем общую σ²_у и факторную σ²_у/х дисперсии:

σ²_у/х

Корреляционное отношение:

Индекс корреляции близок к единице, следовательно, связь между признаками тесная.

Для оценки значимости индекса корреляции определим F-критерий:

В приложении 1 для числа степеней свободы К₁=m-1=2-1=1 и К₂=n-m=12-2=10. Найдем табличное значение F-критерия – оно равно 4,96. Так как расчетное значение F=42,6 больше табличного – 4,96, то корреляционное отношение можно считать значимым.

Коэффициент корреляции вычислим по формуле:

Коэффициент корреляции близок к единице, следовательно, связь между плодородием почвы и урожайностью пшеницы тесная.

Определим значимость, существенность коэффициента корреляции с помощью t-критерия Стьюдента:

В приложении 2 для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы n-2=10 найдем табличное значение t=2,228. Так как расчетное значение t-критерия (3,27) больше табличного (2,228), то коэффициент корреляции признаем значимым.

Задача 6. По следующим данным исследуйте зависимость между продолжительность уборки и урожайностью ячменя:

1) определите параметры уравнения регрессии;

2) рассчитайте коэффициенты корреляции и детерминации;

3) вычислите корреляционное отношение (индекс корреляции);

4) определите показатели тесноты корреляционной связи.

Продолжительность уборки, дней	13	8	14	21	7	10	11	15	18	13
Урожайность, т/га	1,4	1,6	1,5	1,12	2,0	1,9	1,8	1,6	1,2	1,7

Задача 7. По приведенным данным исследуйте зависимость между удельным весом орошаемой пашни и выходом кормов с 1 га посевов кормовых культур:

1) найдите параметры уравнения регрессии;

2) рассчитайте коэффициенты корреляции и детерминации;

3) вычислите индекс корреляции;

4) вычислите показатели тесноты связи.

Удельный вес орошаемой пашни, %	22	11+N*	13	28	24	19	17	18	12	ё14
Выход кормов с 1 га посевов кормовых культур, ц.к.ед.	23	16	14	22	25	24	19	20	15	14

*N- порядковый номер студента (последняя цифра шифра)

Задача 8. Исследуйте зависимость между качеством почв и урожайностью яровой пшеницы:

1. найдите параметры уравнения регрессии;

2. рассчитайте коэффициенты корреляции и детерминации;

3. вычислите корреляционное отношение (индекс корреляции);

4. проверьте гипотезу о значимости (существенности) уравнения регрессии и показателей тесноты корреляционной связи.

Качество почв, балл	70	75	80	55	65	85	90	65	80	60
Урожайность яровой пшеницы, ц/га	13	21	22	9+0,5N*	12	25	28	14	24	10

*N – порядковый номер студента (последняя цифра шифра)