Исследование логических элементов

1. Цель работы

Изучить и исследовать основные логические элементы, используемые в микропроцессорных средствах вычислительной техники.

2. Основные положения

Логические элементы предназначены для выполнения различных логических операций под дискретными сигналами при двоичном способе их представления.

Преимущественное распространение получили логические элементы потенциального типа. В них используется дискретные сигналы, нулевому значению которых соответствует уровень низкого потенциала, а единичному значению - уровень высокого потенциала. Связь потенциального логического элемента с предыдущим и последующим узлами в системе осуществляется непосредственно, без применения реактивных компонентов. Благодаря этому преимуществу именно потенциальные логические элементы нашли исключительное применение в интегральном исполнении в виде микросхем. С позиций использования логических микросхем потенциального типа и проводится далее рассмотрение логических элементов.

Алгоритм любой арифметической операции, выполняемой вычислительной техникой в двоичной системе счисления, может быть сведен к последовательности выполнения некоторых логических операций. Схемно логические операции реализуются на элементах, которые называются логическими.

Логика в общем смысле – это наука о наиболее общих законах и формах мышления, а математическая логика – это наука о применении математических методов для решения различных логических задач.

В вычислительной технике используется главным образом начальный раздел математической логики, называемый исчислением высказываний или алгеброй логики.

Под высказыванием понимают любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение об его истинности или его ложности. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, но не может быть одновременно и тем, и другим.

В алгебре логики принято рассматривать не конкретное содержание высказывания, а лишь значение его истинности. Принято обозначение истинности высказываний: «1» – высказывание истинно, «0» – высказывание ложно. Такие высказывания чаще называют двоичными переменными.

Высказывания бывают простые и сложные. Функциональную зависимость сложного высказывания выражают через простые, т.е. (x_1, x_{2., ….} x_n), где x_i –исходные простые высказывания. Объединения простых высказываний в сложные производится с помощью логических связей.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся логические связи и соответствующие им сложные высказывания.

а) Логическая связь НЕ

Отрицание высказывания «x» называется такое сложное высказывание, которое истинно, когдаxложно, и ложно, когдаxистинно.

Запись высказывания имеет вид: ƒ(x) =

Условное обозначение схемы и таблица истинности имеют вид:

х
0	1
1	0

б) Логическая связь ИЛИ (дизъюнкция)

Дизъюнкцией нескольких простых высказываний называют такое сложное высказывание, которое ложно тогда, когда ложны все простые высказывания.

Запись высказывания имеет вид: ƒ(x₁, x₂) = x₁ + x₂ = x₁x₂

Условное обозначение схемы и таблица истинности имеют вид:

x1	x2	ƒ(x1, x2)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

в) Логическая связь И (конъюнкция)

Конъюнкцией нескольких простых высказываний называют такое сложное высказывание, которое истинно только тогда, когда истинны все простые высказывания.

Математическая запись на примере двух простых высказываний имеет вид: ƒ(x₁, x₂) = x₁ · x₂= x₁ x₂ = x₁ & x₂

Условное обозначение схемы и таблица истинности имеют вид:

x1	x2	ƒ(x1, x2)
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

г) Логическая связь ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (сумматор по модулю 2)

Суммированием по модулю 2 нескольких простых высказываний называют такое сложное высказывание, которое истинно только тогда, когда истинно нечетное число высказываний.

Математическая запись на примере двух простых высказываний имеет вид:ƒ(x₁, x₂) = x₁ x₂

Условное обозначение схемы и таблица истинности имеют вид:

x1	x2	ƒ(x1, x2)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

На основе приведенных типовых логических связей (элементов) в цифровых ЭВМ широко применяются серийно выпускаемые промышленностью элементы, обладающие функциональной полнотой на основе интегральных микросхем различных серий.

Используя свойство функциональной полноты, комбинированные логические элементы Пирса и Шеффера позволяют реализовать различные сложные высказывания (функции), как-то И, ИЛИ, НЕ.

д) Элемент Пирса – двоичный логический элемент, реализующий операцию (сложное высказывание) логического сложения с отрицанием (дизъюнкцию с отрицанием).

Математическая запись функции, реализуемой элементом Пирса, имеет вид: ƒ

Условное обозначение элемента и таблица истинности, на примере двух простых высказываний, имеет вид:

x1	x2	ƒ(x1, x2)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

На основе элементов Пирса можно реализовать:

а) логическую связь И; б) логическую связь НЕ; в) логическую связь ИЛИ.

Схемы реализации перечисленных логических связей, содержащих по два простых высказывания, имеют вид:

Рис. 4.1. Схемы реализации логических связей на основе элемента Пирса

е) Элемент Шеффера – двоичный логический элемент, реализующий операцию логического умножения с отрицанием.

Сложное высказывание представляет собой «1» (истинно) на выходе элемента, которая имеет место всегда, кроме случая, когда простые высказывания имеют «1» на всех входах элемента.

Математическая запись функции, реализуемой элементом Шеффера, имеет вид: ƒ

Условное обозначение элемента и таблица истинности на примере двух простых высказываний имеет вид:

x1	x2	ƒ(x1, x2)
0	0	1
1	0	1
0	1	1
1	1	0

На основе элементов Шеффера можно реализовать логические связи НЕ,

ИЛИ, И по аналогии реализации логических связей на элементах Пирса. По таблицам истинности сложных высказываний с помощью аппарата алгебры логики, можно составить совершенные нормальные логические функции.

Пустьƒ(x₁, x₂ …x_n)– произвольная логическая функция n аргументов. Промоделируем все возможные наборы значений аргументовx. Таких наборов будет 2ⁿ. Обозначим их черезA₀, A₁ … A_i, тогдаƒ(x₁, x₂ …x_n) = ƒ(A_i).

Функцию θ(x₁, x₂ …x_n) = θ_i(A_i), такую, что она равна единице для набораA_iи нулю для всех остальных наборов, называют конституэнтой единицы.

В алгебре логики доказывается, что любая функция ƒ(A_i)может быть представлена логической суммой конституэнт единицы, составленных для тех наборовA_i, для которыхƒ(A_i) = 1. Логическую сумму конституэнт единицы, полученную по указанному правилу, называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой функции (СДНФ).

Для получения конституэнт единицы некоторого набора необходимо логически перемножить все переменные данного набора, причем переменные, соответствующие нулям в наборе, в выражении конституэнт единицы входят с отрицанием.

Рассмотрим пример составления СДНФ:

Пусть функция ƒ(x₁, x₂)задана таблицей истинности

№ набора	x1	x2	ƒ(x1, x2)	Случай сумматора по модулю два ƒ(x1, x2) = x1 x2
1	0	0	0
2	1	0	1
3	0	1	1
4	1	1	0

Функция ƒ(x₁, x₂) = 1для наборов 2 и 3. Конституэнты единицы для наборовQ₂ = x₁ , Q₃ =x₂, тогда СДНФ будет: ƒ(x₁, x₂) = x₁+x₂.

В алгебре логики доказывается также, что любая логическая функция может быть представлена совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ), которая получается логическим умножением конституэнт нуля для тех наборов A_i, для которыхƒ(x₁, x₂ …x_n) = 0.

Для получения конституэнт нуля некоторого набора необходимо сложить все переменные набора, причем переменные, соответствующие единицам в наборе, в выражение конституэнт нуля входят с отрицанием.

По данным таблицы истинности предыдущего примера составим СКНФ.

Из таблицы видно, что ƒ(x₁, x₂) = 0для наборов 1 и 4. Конституенты нуля для этих наборовQ₁ = x₁ + x₂ , Q₄ =, тогда СКНФ функции:

ƒ(x₁, x₂) = (x₁ + x₂)( ).

Таким образом, любая логическая функция может быть представлена либо функцией СДНФ, либо функцией СКНФ. Для их получения требуется использование логических связей трех типов: НЕ, И, ИЛИ. Эти связи образуют функционально полную систему логических связей.

Количество конституэнт, образующих совершенную нормальную функцию, определяет форму функциональной зависимости.