Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Аграрный Университет им. Н.И. Вавилова

Предмет:

Математический анализ

Файл:

математический анализ _часть 1

.pdf

Скачиваний:

711

Добавлен:

25.03.2015

Размер:

442 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

cos2

πx

cos2

πx

2 πx

cos

−

lim

= −

lim

= −

lim

πx

(1 − x)'

π x→1

− x)sin

π x→1

sin

x→1 1 − x

π x→1

πx

lim

− 2cos

2 sin

lim cos

πx sin

πx = 0 .

= −

−1

π x→1

cos πx

lim cos πx ln(1−x)

= e0 =1.

Итак, lim(1 − x)

= ex→1

x→1

9. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Определение 14.

Если функция

f дифференцируема в некоторой

окрестности | x − x0 |<ε

точки

x0 ,

а функция f ' имеет в точке x0

произ-

водную, то функция

называется 2-дифференцируемой в точке

x0 и

( f ')'(x0 ) называется производной 2-го порядка и обозначается f ''(x0 )

или

f (2) (x ) .

(n −1) -дифференцируема в некоторой окрестности

Если функция

точки

x , тогда ( f (n−1) )'(x ) , если она существует, называется n -производ-

ной

(n) (x ) и функция f

называется n-дифференцируемой в точке

x .

Локальная формула Тейлора. Если функция f n -дифференцируема

в точке x0 , то

(k ) (x

)

(x − x0 )k + ε(x)(x − x0 )n ,

f (x) = ∑

(3)

где

lim ε(x) = 0 .

k =0

x→0

(k ) (x

)

− x0 )k

Многочлен ∑

называют многочленом

Тей-

k =0

лора n-го порядка, а слагаемое ε(x)(x − x0 )n , которое иначе записыва-

ют как o((x − x0 )n ) ,

остаточным членом

формулы Тейлора в

форме Пеано.

Приведем пять важных разложений ( x0 = 0 ):

ex =1 + x +

+... +

+ o(xn ) ;

n−1 x2n−1

sin x = x −

+... + (−1)

+ o(x

) ;

(2n −1)!

cos x =1 −

+... + (−1)

x2n

+ o(x

2n+1

) ;

(2n)!

m(m

m(m −1)...(m − n +1)

(1 + x)

+ mx

−1)

+... +

+ o(x

) ;

ln(1 + x) = x −

+... + (−1)

n−1

+ o(x

) .

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Пусть функция f определена на отрезке [a,b]							и имеет на нем непрерыв-
ные производные до порядка			n −1		включительно, а на интервале (a, b)
имеет производную f (n) . Тогда для x (a,b)
n		f (k ) (a)			− a)k +	f (n) (ξ)		(x − a)n ,
f (x) = ∑				(x					(4)
		k!				n!
k =0
где ξ = a + θ(x − a) и 0 < θ<1.
Остаточный член	f (n) (ξ)		(x − a)n называют остаточным чле-

		n!
ном в форме Лагранжа.
Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на
интервале (a, b) , то
	f (b) − f (a) = f '(ξ)(b −a) ,								(5)

где a < ξ < b .

Формула (5) называется формулой конечных приращений Лагранжа. Она является частным случаем формулы Тейлора при n =1.

Пример 40. Разложить многочлен					f (x) = x4 −2x3 +5x2 −3x + 4					по
степеням двучлена x −1.
f '(x) = 4x3 −6x2 +10x −3 , f ''(x) =12x2 −12x +10 , f '''(x) = 24x −12 ,
		f (4) (x) = 24 , f (n) (x) = 0 при n ≥5 .
Отсюда f '(1) = 5 , f ''(1) =10 , f '''(1) =12 ,							f (4) (1) = 24 .
Следовательно,
x4 −2x3 +5x	2 −3x + 4 = 5 +5(x −1) +10 (x −1)						2 +12	(x −1)3 +	24 (x −1)4	,
		2!					3!		4!
или x4 −2x3 +5x2 −3x + 4 = 5 +5(x −1) +5(x −1)2 + 2(x −1)3 +(x −1)4 .
Пример 41. Найти многочлен Тейлора 4-го порядка для функции
f (x) = x при x0 = 4 .								x − 4 1 / 2
Так как	x =	4 + (x − 4) = 2 1 +	x − 4			=		x − 4 1 / 2	, то на осно-
Так как	x =	4 + (x − 4) = 2 1 +		4		=	2 1 +		, то на осно-
				4				4

вании четвертого разложения многочлен Тейлора 4-го порядка T4 (x) для функции f (x) = x имеет вид

									1	1	−																		1 1							−		1	−
		1		x −	4							1			x −4								2														1				2		x −4			3
												1											2														1				2					3
T (x) = 2 1+							+		2 2																		+		2 2									2									=
									2 2																				2 2									2

4		2		2						2!					4																						3!						4


										x −		4			(x −4)2													(x −4)3
						= 2 +								−										+													.
						= 2 +					2			−					64					+							512						.
											2								64												512
	Пример 42. Найти разложение																				функции															f (x) = ln x							по		степеням
x −2 .
		ln x = ln(2 +(x −																										x		−				2											x −2
	Так как											2)) = ln 2 1												+													= ln 2 +ln 1							+			,	то
	Так как											2)) = ln 2 1												+						2							= ln 2 +ln 1							+	2		,	то
																														2															2
на основании пятого разложения имеем
	ln x = ln 2 +		x − 2				1		x − 2				2								(−1)n−1											1 x − 2						n		+ o((x − 2)n ) .
					−									+... +
				2	−		2			2				+... +																							2
				2			2			2																						n					2
	Пример 43. Пользуясь приближенной формулой
								ln(1 + x) ≈ x −												x2				x3									x4			,
																						+							−
																			2			+		3					−					4
найти ln1,5 и оценить погрешность.																			2					3										4
найти ln1,5 и оценить погрешность.
	Правая	часть			данной						формулы является																										многочленом Тейлора
4-го порядка функции f (x) = ln(1 + x) ,																					x0 = 0 . Остаточный член формулы
Тейлора в форме Лагранжа											R (x) =							f (5) (ξ)								x5 =											1					x5 ,	где ξ = θx					и
Тейлора в форме Лагранжа											R (x) =															x5 =																x5 ,	где ξ = θx					и
											5										5!														5(1 + θx)5
0 < θ<1, при x = 0.5																					5!														5(1 + θx)5
0 < θ<1, при x = 0.5																	1								1
										\| R		(x) \|<					1						=		1
										\| R		(x) \|<											=
											5						5 25							160
																	5 25							160												1 2				1 3					1 4
																																				1 2				1 3					1 4
																												1

и погрешность				δ< 0.01.						Тогда						ln(1.5)								≈								−				2		+		2			−		2	,	или
и погрешность				δ< 0.01.						Тогда						ln(1.5)								≈				2				−				2		+			3		−		4	,	или
ln(1.5) ≈ 0.40 .																												2								2					3				4
ln(1.5) ≈ 0.40 .

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Графики многих функций можно в общих чертах нарисовать, не выходя за пределы самых простых соображений. Если мы желаем уточнить эскиз графика, то можно привлечь аппарат дифференциального исчисления.

При исследовании функции с целью построения эскиза ее графика рекомендуется придерживаться следующего плана:

1)найти область определения функции и выяснить поведение функции на границе области определения;

2)отметить характерные точки графика, в частности точки пересечения с осями координат, если таковые имеются и доступны вычислению;

3)отметить некоторые особенности функции, если они имеются, както: четность, нечетность, симметричность;

4)найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности;

5)найти точки локальных экстремумов и промежутки монотонности;

6)определить точки перегиба и характер выпуклости;

7)найти асимптоты в случае их существования.

Монотонность функции

Определение 15. Функция f , определенная на интервале (a,b) , на-

зывается:				f (x1) ≤ f (x2 )
1)	неубывающей	(невозрастающей),	если	f (x1) ≤ f (x2 )
( f (x1) ≥ f (x2 ) ) при любых a < x1 < x2 < b ;				f (x1) < f (x2 )
2)	возрастающей	(убывающей),	если	f (x1) < f (x2 )
( f (x1) > f (x2 ) ) при любых a < x1 < x2 <b .

Такие функции называют монотонными, а в случае 2) более конкретно – строго монотонными.

Достаточные условия монотонности Если при любом x (a,b)

1)f '(x) ≥ 0 (≤ 0) , то f не убывает (не возрастает) на (a,b) ;

2)f '(x) > 0 (< 0) , то f возрастает (убывает) на (a,b) .

Локальные экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции

Определение 16. Точка x0 называется точкой внутреннего локального экстремума ( максимума или минимума) функции f , если в некоторой окрестности x − x0 < ε точки x0 выполняется соответственно неравенство f (x) ≤ f (x0 ) или f (x) ≥ f (x0 ) .

ТЕОРЕМА 13 Ферма (или необходимое условие локального экстремума). Если точка x0 – точка внутреннего локального экстремума функции

f и функция дифференцируема в точке x0 , то f '(x0 ) = 0 .

Замечание. Условие f '(x0 ) = 0 не является достаточным условием экстремума. Точки, в которых f '(x0 ) = 0 или же производная не существует, называются критическими.

Достаточные условия экстремума

I. Если функция

непрерывна в некоторой окрестности | x − x0 |< δ

точки

x0 ,

которая

является

критической

точкой,

f '(x0 ) > 0

при

x0 − δ< x < x0

и f '(x0 ) < 0

при

x0 < x < x0 + δ,

то x0 – точка локального

максимума функции f

если же

f '(x0 ) < 0 при x0 − δ< x < x0 и f '(x0 ) > 0

при x0 < x < x0 + δ, то x0

– точка минимума функции f .

II. Если f '(x0 ) = 0

f ''(x0 ) < 0 , то x0

–

точка максимума функции

f ; если

f '(x0 ) = 0 и

f ''(x0 ) > 0 , то

x0 –

точка

минимума, если

же

f '(x )

= 0 ,

f ''(x ) = 0

(3) (x ) ≠ 0 , то точка

x не является точкой экс-

тремума функции.

имеет в некоторой окрестности | x − x0 |< δ про-

III. Пусть функция

изводные

до

порядка

n −1 включительно и

точке

x0 производную

f (n) (x

) , причем f (k ) (x

) = 0 ( k =1,...n −1), f (n) (x

) ≠ 0 . Тогда:

1) если n – четное, то в точке x0

функция

имеет максимум при

f (n) (x

) < 0 и минимум при f (n) (x ) > 0 ;

2) если n – нечетное, то в точке x0

функция

экстремума не имеет.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] , то наибольшее и наи-

меньшее значения достигаются функцией или в критических точках или на концах отрезка.

Выпуклость функции

Говорят, что дифференцируемая функция f на интервале (a,b) является выпуклой (вогнутой), если при x (a,b) ее график расположен выше (ниже) касательной, проведенной к нему в любой точке (x, f (x)) .

Достаточным условием выпуклости (вогнутости) на интервале (a,b) 2-дифференцируемой функции является условие: f ''(x) > 0 ( f ''(x) < 0 )

при x (a,b) .

Точки, в которых меняется характер выпуклости, называют точками перегиба. Точка x0 , в которой f ''(x) = 0 или вторая производная не

существует, является точкой перегиба функции f , если f ''(x) меняет знак при переходе через точку x0 .

Асимптоты

1. Вертикальные асимптоты.

Если существует точка a такая, что lim f (x) = ∞, то прямая x = a

x→a

является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Если lim	f (x)	= k	и	lim [ f (x) − kx] =b , то прямая y = kx + b явля-
	x
x→+∞				x→+∞

ется правой наклонной асимптотой (если k = 0 , то – правой горизонтальной асимптотой).

Если вместо предела при x → +∞, рассмотреть предел при x → −∞,

то такая прямая является левой асимптотой.

x .

Пример 44. Построить график функции f (x) =

3 x2 −1

Область определения функции (−∞,−1) (−1,1) (1,+∞) .

Функция нечетная, так как

f (−x) =

− x

= −

= − f (x) .

3 (−x)2 −1

3 x2 −1

Следовательно, график симметричен относительно точки (0,0) . Это

обстоятельство упрощает построение графика.

[0,1) (1,+∞) . Так как

Рассмотрим функцию

на

множестве

lim

= +∞, а

lim

= −∞, то прямая

x =1 является верти-

x→1+0 3 x2 −1

x→1−0 3 x

2 −1

кальной асимптотой графика.

На промежутках [0,1) и (1,+∞) функция непрерывна и дифференци-

руема:

3 x2 −1 − x

2 −1)2

3(x2 −1) − 2x2

x2 −3

f '(x) =

3 (x

(3 x2 −1)2

33 (x2 −1)4

= 33 (x2 −1)4 .

Найдем критические точки на правой полуоси, решив уравнение

x2 −3

= 0

x =

3 .

3 (x2

−1)4

На промежутке (0,1)

и промежутке (1, 3)

f '(x) < 0 . Следовательно,

на них функция убывает.

На промежутке (

3,+∞)

f '(x) > 0

и функция возрастает.

Таким образом, точка x = 3 – точка локального минимума. Вторая производная

		2x(x2		4	−(x2			4	(x2		1
	1		−1) 3			−3)		4		−1)3 2x			2x(9	− x	2	)
f ''(x) =			−1) 3			−3)		3		−1)3 2x					2
							8	3				=
	3											=	93 (x2 −1)7
					(x2
						−1)3
						−1)3

и f ''(x) = 0 при x = 3 .

На промежутках (0,1) и (3,+∞)					f ''(x) < 0 , и функция является вогну-
той; на промежутке (1,3)		f ''(x) > 0		и функция выпуклая.
Так как lim	f (x)	=	lim	1	= 0 ,
x→+∞	x		x→+∞ 3 x2 −1					1
								1
lim	f (x) =		lim	x	=	lim	x3			= ∞,
lim	f (x) =		lim		=	lim			1	= ∞,
x→+∞			x→+∞ 3 x2		−1	x→+∞	1 −		1
						3
						3			x2
									x2

то правой наклонной асимптоты нет.

Пользуясь результатами исследования, строим график функции (рисунок).

Контрольная работа 2

Задание 1. Пользуясь определением предела функции, доказать ра-

венства. Для заданного ε

вычислить наибольшее δ, для которого выпол-

няется соотношение 0 <

x − x0

< δ

f (x)− A

< ε.

lim

2x2 +5x −3

= −7 ,

ε = 0.03, 0 <

x −3

< δ

f (x)− A

< ε;

x → -3

x +3

lim

5x2 −4x −1

= 6 , ε

= 0.01,

0 <

x −1

< δ

f (x) − A

< ε;

x −1

x → 1

lim

3x2 +5x −2

= −7 ,

ε = 0.1, 0 <

x + 2

< δ

f (x) − A

< ε;

x + 2

x → - 2

lim

3x2 +5x −2

= −7 ,

ε = 0.1,

x + 2

< δ

f (x) − A

< ε;

x + 2

x → - 2

lim 4x2 −14x + 6

=10 ,

ε = 0.004 , 0 <

x −3

< δ

f (x) − A

< ε;

→ 3

x −3

lim

6x2 − x −1

=5, ε = 0.01, 0 <

x −1/ 2

< δ

f (x) − A

< ε.

x −1 2

→ 1 2

lim

9x2 −1

= −6 ,

ε = 0.03, 0 <

x +1/ 3

< δ

f (x) − A

< ε;

x +1 3

→ -1 3

lim

−4x +3

= 2 , ε = 0.02 , 0 <

x −3

< δ

f (x) − A

< ε;

x −3

→ 3

lim

2x2 +3x −2

=5 ,

ε = 0.02 , 0 <

x −1/ 2

< δ

f (x) − A

< ε;

x −1 2

→ 1 2

10)

lim

6x2 + x −1

=5 , ε = 0.05, 0 <

x −1/ 3

< δ

f (x) − A

< ε.

x −1 3

x →

1 3

В заданиях 2 – 7 вычислить предел функции.

Задание 2.

lim

(x2 + 2x −3)2

;

lim

(x3 −2x −1)2

;

lim

(1 + x)3 −(1 +3x) ;

x → −3

x3 + 4x2 +3x

→ −1 x4 + 2x +1

x → 0

x + x5

lim

x3 −3x −2

;

lim

x3 −3x + 2

;

lim

x3 + 4x2 +5x + 2

;

x2 − x −

− x2 − x +

x3 −3x −

x → −1

→ 1 x3

x → −1

lim

x4 −1

;

lim

+5x2 +8x + 4

;

lim

x3 −5x2 +8x −4

;

−1

x3 +3x2 −4

−3x2 +

x → 1 2x4 − x2

→- 2

x →2

10)

lim

x3 −6x2 +12x −8

x3 −3x2 + 4

→2

Задание 3.

lim

1 + 2x −3

;

lim

x +13 −2 x +1

;

lim

4 x −2

;

x −2

x2 −9

x −4

x → 4

→

x →

lim

x −6 + 2

;

lim

9 + 2x −5

;

lim

3 x −1

;

x3 +8

3 x −2

1 + x −

x → −2

→

x →

lim

1 + x − 1 − x

;

lim

3 4x −2

;

lim

x −1

;

1 − x

x2 −1

x → 0 3 1 + x − 3

→

2 + x − 2x

x → 1

10)

lim

3 9x −3

→ 3 3 + x −

Задание 4.

lim

ln (1 +sin x)

;

lim 1 −cos10x ;

lim

1 −cos 2x

;

x →

sin 4x

x →

ex2 −1

→ 0 cos7x −cos3x

lim

;

lim

;

lim

sin 7x

;

x →

0 tg(π(2 + x))

x →

0 tg[2π(x +

1 2)]

→

2 + π

lim

2sin[π(x +1)]

;

lim

9ln(1 −2x) ;

lim

cos 2x −cos x

;

x →

ln(1 + 2x)

→

4arctg3x

→ 0

1 −cos x

10)

lim

cos(x +5π 2)tgx .

x → 0

arcsin 2x2

Задание 5.

lim

x2 −1

;

lim

x2 − x +1 −1

;

lim

1 +cos3x

;

ln x

sin2 7x

→ 1

x → π

lim

1 −sin 2x

;

lim

tg3x ;

lim

2xsin x

;

(π−4x)2

1 −cos x

→π 4

→ π 2

tgx

x →

lim

1 −

cos x

;

lim

arcsin 2x

;

lim

x2 −π2

;

xsin x

sin x

→

0 ln(e − x) −1

→ π

10)

lim

x2 −3x +3 −1

sin πx

x → 1

Задание 6.

1) lim

1 + tgx − 1 +sin x

; 2) lim 1 + xsin x −cos 2x

; 3)

lim

1 + xsin x −1

;

x → 0

sin2 x

x →

ex2 −1

lim

1 −cos 2x + tg2 x

;

lim

sin 2x −2sin x

;

lim

ln cos x

;

xsin 3x

xln cos5x

x →

→

2π 3sin 2x −1

lim

ln cos 2x

;

8) lim

3 1 +ln2 x −1

;

lim

ln(2x −5)

;

(1 −π x)2

1 +cos πx

esin πx −1

x → π

→

x →

10)

lim

ln cos 2x .

→ π ln cos 4x

Задание 7.

lim

(1 −ln(1 −sin x))1 tg2 x ;

lim

(1 + tg2 x)1 3x2

;

x → 0

3) xlim→ 0 (1 − xsin2 x)1 ln(1+πx3 );

xlim→ 0 (1 +sin2 3x)1 ln cos x ;

5) lim (1 −sin2

1 x

ctg2 x

x )

;

lim

−

;

x → 0

cos x

1 x3

lim

+ tgxcos 2x

;

lim

(1 −ln cos x)1 tg

x ;

x → 0

1 + tgxcos5x

x → 0

ctgx

cosec2 x

lim

− x

;

10) lim

3 −

cos x

x → 0

→

Задание 8.

Доказать непрерывность функции

f (x) в точке x0 .

f (x)=5x2 −1, x = 6 ;

6) f (x)= −3x2 +8, x =5 ;

f (x)=3x2 −3, x = 4 ;

7) f (x)= 2x

2 +6, x = 7 ;

f (x)= −2x

2 −5, x = 2 ;

8) f (x)= 4x

2 −1, x = 6 ;

f (x)= −4x

2 −7, x =1;

9) f (x)= −2x2 +9, x = 4 ;

f (x)= −5x

2 −9,

=3;

10) f (x)= 2x2 +8,

x =5 .

Задание 9. Исследовать функцию f (x) на непрерывность и указать характер точек разрыва.

при

<1,

1 + x

0 при x ≤ −1,

f (x) =

3/ 2 − x при x ≥1;

при

< 2,

8 − x

1/16 при x ≤ −2,

f (x) =

x +1 при x ≥ 2;

x + 2

при 0 < x <9,

9 − x

2 / 9 − x при x ≤ 0,

f (x) =

cos x при x ≥9;

	sin x при x (−π/ 2;π],
2)			2x / π				при x ≤ −π/ 2,
2)	f (x) =		2x / π				при x ≤ −π/ 2,
				1/ 2			при x > π;
				1/ 2			при x > π;
				x			при 0 < x < 2,

		4		+ x	2
		4		+ x
4)				−x3			при x ≤ 0,
4)	f (x) =			−x3			при x ≤ 0,
				x2 +1 при x ≥ 2;
				x2 +1 при x ≥ 2;


	x + 2
						при 0 < x < 7,
			x −7			при 0 < x < 7,
6)
6)	f (x) = −2 / 7 − x при x ≤ 0,
				cos x при x ≥ 7;

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>