Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Аграрный Университет им. Н.И. Вавилова

Предмет:

Математический анализ

Файл:

математический анализ _часть 1

.pdf

Скачиваний:

711

Добавлен:

25.03.2015

Размер:

442 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

при

<1,

1 − x

0 при x ≥1,

f (x) =

3/ 2 − x при x ≤ −1;

при

< 2,

4 − x

−x

при x

≤ −2,

f (x) =

x2 +1 при x ≥ 2;

			1		при	x	<1,
			1

		1	− x	2
		1	− x
8)			0 при x ≥1,
8)	f (x) =		0 при x ≥1,
	3/ 2 − x при x ≤ −1;


		cos x при x (−π/ 2;π],
10)	f (x) =		0		при x ≤ −π/ 2,
10)	f (x) =		0		при x ≤ −π/ 2,
			1/ 2 при x > π.
			1/ 2 при x > π.

В заданиях 10 – 13 найти производную указанных функций.

Задание 10.

f (x) =1+ x − x2

f (x) = x + x +3 x ,

f (x) = (x2 +1)4 ;

1− x + x2

f (x) =

+ 1

f (x) =

x2 + x −1

f (x) = (1+ 2x)30 ;

3 x

x3 +1

f (x) =

2x4

f (x) = (5x3 + x1 −4)3 ;

− x3 x

3 x2

1 − x2

f (x) =

x x

f (x) =

x3 −2x

−

f (x) = 7x

−

+6 ;

x2 + x +

f (x) = x(x

− x

f (x) =

2x +3

+1) ,

f (x) = x

−

+3 ;

2 −5x +5

f (x) =

x3 +1

f (x) = (3x

− x

)

;

3 x

x2 + x −1

f (x) =

3 x2 −

f (x) =

x2 + 2x −1

f (x) = (4x3 +

− x)4 ;

x3 −1

f (x) =

+ 3 x −

f (x) =

2x +3

f (x) = (7x2 − x +

)3 ;

3 x2

− x + x2

f (x) =

+ 2 x

f (x) =

x3 − x

f (x) = (5x

− x

)

;

x2 − x +1

10)

f (x) =

−

x ,

f (x) =

x +1

, f (x) =

(4x

−

)

4 x3

x3 + 2x2

−1

Задание 11.

f (x) =

f (x) = cos x −

1 cos3 x ,

f (x)= xsin xarctg x ;

1 −cos x

2) f (x) =

sin x

f (x) = 3sin2 x −sin3 x ,

f (x) = x arcsin x + 1− x2 ;

sin x

f (x) =

1 tg3x − tg x + x ,

f (x) = arccos x

;

sin x +cos x

f (x) =

sin x

f (x) = cos2 4x ,

f (x) = arctg x2 ;

1 +cos x

f (x) = sin x +cos x

f (x) =

f (x) = arcsin

;

sin x −cos x

f (x) =

cos x

f (x) =3cos2 2x −sin(x2 ) ,

f (x) = arccos3 (2x) ;

sin x −cos x

f (x) =

f (x) = tg3x −sin(x2 ) ,

f (x) = arctg2 3x ;

sin x −cos x

f (x) =

sin x +cos x

f (x) =

sin x

+cos

f (x) = arcsin x

;

f (x) =

tgx

f (x) =sin3 (x2 ) ,

f (x) = arctg 1 ;

sin x +cos x

cos2 x

10)

f (x) =

xsin x

f (x) =

f (x) = arccos

x + tgx

Задание 12.

f (x) =

1 −ln x

f (x) = ln sin x ,

f (x) =

+ 2x

;

1 +ln x

f (x) =

ln x

f (x) = ln tg x ,

f (x) = xex ;

1+ x2

f (x) = cos x

f (x) = ln x

f (x) =

ln x ,

;

f (x) =

f (x) = ln(x4 −4x) ,

f (x) = ex sin x ;

ln x

f (x) =

x −1

f (x) = ln arccos 2x , f (x) =

x2 +ex ;

log2 x

f (x) =

1 +ln x

f (x) = ln(tg2 x) ,

f (x) =

sin x

;

1 −ln x

f (x) =

1 + x3

f (x) = 3 ln x ,

f (x) = ex cos x ;

ln x

f (x) =

ln x

f (x) = tg(ln x) ,

f (x) =

+ex

;

f (x) =

ln x −1

f (x) =sin(ln x) ,

f (x) =

;

ex + x3

10)

f (x) =

f (x) = 3 ex

− x2 .

ln x +

Задание 13.

1− x

f (x) = arctg(x2 −3x + 2) ,

f (x) = log3 (x2 −sin x) ,

f (x) = x

f (x) = xx ;

1+ x2

2x+3

f (x)

f (x) =

f (x) = e

− x +

= ln arctg

1 + x

1+sin2 x

f (x) = x x ;

f (x) = arctg

x +1

f (x) =

ln sin x

f (x) = x2

x ,

f (x) = x

x ;

x −1

ln cos x

+ctg

f (x) = sin2 x sin x2 ,

f (x) = eln x

f (x) = xsin x ;

f (x) = tg 2

2 ,

f (x) = x5 3 x5 −8 ,

f (x) = x3arctg x3 ,

f (x) =

2 cos x

f (x) = (cos x)sin x ;

cos 2x

f (x) =sin

x +1

f (x) = ln tg

f (x)

= x 1

f (x) = x3 x ;

+ x

x −1

f (x) = ex2 (x2 −1) ,

f (x) = log2 (

) ,

f (x) =

1 +

sin x

3 x

f (x) = (cos x)ex ;

f (x) = esin x

, f (x) = ln(sin2 x + tg2 x) ,

f (x) = 3 x

1 +

3 x

f (x) = (sin x)ex ;

f (x) =

f (x) = x

f (x) = log(

) ,

f (x) =

sin x ;

x +cos x

1 +

cos x

f (x) = cos2 x ln x2 ,

f (x) = x cos x .

10)

f (x) = arctg

f (x) = e

cos x

sin x

Задание 14. Заменяя приращение функций дифференциалом, приближенно вычислить следующие значения:

1)	3 0,98 , 3 9 ;			6) 4 1,01 ,		3 7 ;
2)	1,02	, 4 80 ;		7)	5 0,98	, 4 82 ;
3)	4 1,03	,	17 ;	8)	4 0,98 ,	15 ;
4)	3 1,03	,	70 ;	9)	5 1,02 , 3 28 ;
5)	0,99 , 3 70 ;			10) 3 1,01 , 4 17 .

Задание 15. Написать уравнение касательной и нормали к кривой:

1)y = x3 + 2x2 −4x −3 в точке с абсциссой x = −2 ;

2)y = 2x3 −3x2 + x −2 в точке с абсциссой x =1;

3)y = x3 + x2 +3x −5 в точке с абсциссой x = 2 ;

4)y = 2x3 +5x2 − x +3 в точке с абсциссой x = −1;

5)y = x3 −2x2 +3x +1 в точке с абсциссой x = 3 ;

6)y = x3 −3x2 + 2x −1 в точке с абсциссой x =1;

7) y = 2x3 + x2 − x +3 в точке с абсциссой x = −1;

8)y = x3 + 2x2 −3x +1 в точке с абсциссой x = −2 ;

9)y = 3x3 − x2 +5x +1 в точке с абсциссой x = 2 ;

10)y = 2x3 +3x2 −5x −1 в точке с абсциссой x = −3 .

Задание 16. Найти пределы:

1) lim	cos x −cos 3x	, lim	1		1
	x2			−		,

x→0		x→0 x			ex −1

arcsin x x2 lim . x→0 x


2)	lim cos x −cos 5x ,
	x→0		x2
3)	lim cos 3x −cos 2x				,
	x→0		x2
4)	lim cos 2x −cos 3x				,
	x→0		x2
5)	lim		cos 4x −cos 3x		,
			x2
	x→0
6)	lim	cos 2x −cos5x		,

	x→0		x2


								1
		1		1			sin x
		1		1			sin x		x2
lim			−		,	lim				.
lim			−		,	lim				.
x→1	ln x			x −1		x→0		x

lim		1
lim	ctg x −	,
x→0		x

lim ln x ln(1 − x) ,

x→0

lim x2 e−1000x , x→0

lim tg x x 2 . x→0 x

arctgx x 2 lim . x→0 x

lim (ctg x)sin x .

x→0

lim(1 −cos 2x)ctgx,	lim xsin x ,
x→0	x→0

7) lim cos 4x −cosαx

πx

lim(1 − x)tg

lim(1 − x)cos 2 ,

x→0

x→1

πx

lim

cos5x −cos3x

limarcsin xctgx,

lim(tg

πx

)

2 ,

x→0

x→1

9) lim

cos x −cos 4x

lim x3 ln x,

lim(

1 )tgx ,

x→0

10) lim cos x −cos 2x

lim x100 e−x ,

lim(ctgx)

ln x

x→0

Задание 17. Разложить данный многочлен по степеням указанного бинома:

1)f (x) = x4 −2x3 +3x2 − x +1, x −2 ;

2)f (x) = x4 +3x3 − x2 + 4x −2 , x +1;

3)f (x) = x4 + 2x3 −3x2 + 4x −2 , x + 2 ;

4)f (x) = x4 −3x3 +5x2 − x −1, x −1;

5)f (x) = x4 + 4x3 − x2 + x +5 , x +3 ;

6)f (x) = x4 −3x3 +3x2 − x −1, x −2 ;

7)f (x) = x4 + 2x3 − x2 +3x +1, x +1;

8)	f (x) = x4 −2x3 + x2 −2x +1, x + 2 ;
9)	f (x) = x4 −4x3 + x 2 −x + 2, x −3 ;
10)	f (x) = x4 +3x3 −2x2 +3x −1, x −1 .

Задание 18.

Найти многочлен Тейлора 4-го порядка для функций:

1)	f (x) =	x	при x0 =1;
2)	f (x) =	x	при x0 = 9 ;
3)	f (x) =	x	при x0	= 2 ;
4)	f (x) = 3 x		при x0 =8 ;
5)	f (x) = 3 x		при x0	=1.

Найти разложение функций по степеням указанного бинома:

1)	f (x) = ln x , x −3 ;
2)	f (x) = ex , x −1;
3)	f (x) = ln x , x −4 ;
5)	f (x) = ex , x − 2 .

Задание 19. Пользуясь приближенными формулами, найти указанные функции и оценить погрешность.


1)	sin x ≈ x −						x3						,		sin				1			;
1)	sin x ≈ x −						6						,		sin				4			;
							6												4
2)	cos x ≈1−					x2						,			cos				1			;
2)	cos x ≈1−					2						,			cos				4			;
						2									x2				4
3)	1 + x ≈	1 +							x				−		x2			,				1,2 ;
3)	1 + x ≈	1 +					2						−		8			,				1,2 ;
							2								8											1
4) ex ≈1 + x								x2								x3							x4			1
			+					x2						+		x3				+			x4		, e		2	;
			+											+						+					, e		2	;
							2!								3!							4!
5)	tg x ≈ x +			x3							,			tg 0,05;
5)	tg x ≈ x +				3						,			tg 0,05;
					3					3
6)	sin x ≈ x	−				x				3		,			sin				1			;
6)	sin x ≈ x	−					6					,			sin				2			;
							6												2
7)	cos x ≈1	−				x2						,			cos					1		;
7)	cos x ≈1	−					2					,			cos					2		;
							2								x2					2
8)	1 + x ≈1 +									x			−		x2				, 0,9 ;
8)	1 + x ≈1 +									2			−		8				, 0,9 ;
										2					8													1
9) ex ≈1 + x +									x2								x3							x4				1
									x2					+			x3				+			x4		, e3			;
														+							+					, e3			;
										2!					3!							4!
10) tgx ≈ x +						x				3		,			tg0,03 .
10) tgx ≈ x +							3					,			tg0,03 .
							3

Задание 20. Исследовать функцию и построить ее график:

1)f (x) = x2 −2x + 2 ,

x−1

2)f (x) = x2x−1 ,

3)	f (x) =	x3	,
3)	f (x) =	3 − x2	,
		3 − x2
4)	f (x) =	2x −1		,
4)	f (x) =	(x −1)2		,
		(x −1)2
5)	f (x) =	x3			,
5)	f (x) =	2(x +1)2			,
		2(x +1)2

6) f (x) = (x −1)2 , (x +1)2

7) f (x) = x3 + 2x2 + 7x −3 , 2x2

8)f (x) = 3x4 +1 ,

9)f (x) = (4xx−−2)122 ,

10) f (x) = 16 . x2 (x −4)

	ОГЛАВЛЕНИЕ
Программа курса ....................................................................................................		3
1.	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ......................................................................	5
2.	ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ....................................................................................................	8
	Контрольная работа 1 ....................................................................................	12
3.	ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ..................................................................................................	19
4.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ...............................................................................	23
5.	ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ ..............................	24
6.	ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ............................................	26
7.	ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
	ПРОИЗВОДНОЙ ........................................................................................................	28
8.	РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ ................................................................	29
9.	ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ....................	31
10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МЕТОДАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
	ИСЧИСЛЕНИЯ ...........................................................................................................	33
	Контрольная работа 2 ...................................................................................	37

Учебное издание

Громова Лариса Леонидовна, Захаров Андрей Михайлович, Осипцев Михаил Анатольевич, Сахно Людмила Владимировна

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Часть 1. Введение в анализ. Числовые ряды. Дифференциальное исчисление

Учебное пособие для студентов механико-математического факультета

Ответственный за выпуск О. Л. Багаева Технический редактор Л. В. Агальцова Корректор Г. А. Рогова

Подписано в печать 27.01.2005.

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 100 экз. Заказ

Издательство Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.

Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55