Примеры полугрупп и групп частных

Что значит привести пример полугруппы? Во- первых. это значит указать множество, во-вторых, задать на этом множестве бинарную операцию и, в-третьих, убедиться (доказать или вспомнить ранее установленное), что заданная операция ассоциатив­на. В примерах, которые последуют ниже, заинтере­сованному читателю как раз и предлагается либо вспомнить известное ранее о тех пли иных операци­ях, либо провести необходимые умозаключения пли выкладки, доказывающие ассоциативность соответ­ствующих операций. Стандартные обозначения N. Z. Q и R используются для "главных" числовых мно­жеств: всех натуральных, всех целых, всех рацио­нальных и всех действительных чисел.

1.1 Аддитивная полугруппа натуральных чисел.

Это м есть первая полугруппа, с которой встречает­ся всякий начинающий изучать математику в на­чальной школе и с которой люди, можно сказать, не расстаются всю жизнь.

1.2 Мультипликативная полугруппа натуральных чисел. Это определенно вторая среди полугрупп, с которой знакомятся все изучающие математику.

1.3 Назовем сразу шесть числовых полугрупп: каждое из множеств Z, Q. R является как аддитив­но, так и мультипликативной полугруппой. В средних и старших классах школы это постоянные спутники изучающих математику. Три только что упомянутые аддитивные полугруппы являются да­же группами. Напомним, что группой называется полугруппа, и которой есть нейтральный элемент и каждый элемент обладает симметричным к нему элементом; элемент е называется нейтральным от­носительно операции о, если для лю­бого .у из рассматриваемого множества, элемент у симметричен элементу x если . Нейтральный элемент аддитивной [мультипликативной] полугруппы называют нулем [единецей], симметричный элемент --- противоположным [соответственно обратным].

Инвариантная метрика в полугруппах

Определение:

Метрика ρ на полугруппе S называется инвариантной, если ρ(x,y)=ρ(zx,zy) для любых x,y,z из S.

Пример 1. Рассмотрим полугруппу S=N с операцией умножения, ρ(m,n)=. Проверим является ли метрикой полугруппа , ρ(m,n)=.

ρ(m,n)=≥0, если m=n

ρ(m,n)==

ρ(m,n)≤ρ(m,z) + ρ(z,n), ,

Проверим, что это инвариантная метрика.

ρ(mz,zn)= Пример 2. Пусть мы имеем полугруппу S=R₊ с операцией сложения , ρ(x,y)=R₊ . Проверим является ли метрикой.

ρ(x,y)=, x,y € R⁺.

ρ(x,y)=, то по свойству модуля ρ(x,y)= x=y,

ρ(x,y)== ρ(y,x),

ρ(x,y), .

Проверим является ли инвариантной метрикой

ρ(x+z, z+y)=

Литература

1. «Элементы теории функций и функционального анализа» Колмогоров А.Н., Фомин С.В.

2. «Гармонический анализ на абелевых полугруппах» Миротин А.Р.

Содержание

Понятие метрического пространства…………………………………… 1

Примеры метрических пространств…………………………………….. 1

Открытые и замкнутые множества……………………………………… 2

Определение полугрупп и групп частных………………………………. 4

Примеры полугрупп и групп частных……………………………………6

Инвариантная метрика в полугруппах…………………………………... 6

Список литературы………………………………………………………... 7

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Факультет математический

Кафедра математического анализа

Инвариантная метрика на абелевых полугруппах

Курсовая работа

Исполнитель:

студент группы М-31 _______________ Птушко П.Г.

Научный руководитель:

Доктор физ-мат наук,

профессор _______________ Миротин А.Р.

Гомель 2012

10