Марченко_Высшая математика

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный технологический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

∫(4x +3)10 dx .

∫7 (3 −1,5x)5 dx .

.pdf

Скачиваний:

431

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Решение.

Данный интеграл может быть рационализирован

с помощью замены x = 5sin t .

x = 5sin t, t = arcsin

Имеем: ∫

dx = 5costdt

x2 25

− x2

25 − 25sin2 t = 5cost

25 − x2

= ∫

5cost

∫

ctg t + C =

= −

25sin2 t 5cost

sin2 t

cosarcsin

+ C = −1

1 −

x 2

= −

ctg arcsin

+ C = −

+ C =

25 sin arcsin

= −

25 − x2

+ C .

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащие квадра-

тичные иррациональности:

I. ∫

. Вынося за символ интеграла

(если a > 0)

+bx + c

или

(если a < 0), приведем интеграл к виду

∫

−a

+ px + q

или

∫

−a

−x

+ px + q

Выделяя полные квадраты, получаем табличные интегралы:

∫

или

∫

4q − p2

−a

4q + p2

x +

−

x −

Первый интеграл выражается через логарифмы, а второй при

4q + p2 > 0 – через арксинус;

случай 4q + p2 ≤ 0 во втором инте-

грале не представляет интереса, поскольку не существует интервала, на котором подынтегральная функция определена.

II. ∫	Ax + B
	ax2 +bx + c dx. Этот интеграл можно разбить на два, вы-

делив в числителе производную подкоренного выражения; тогда

131

один интеграл берется непосредственно как интеграл от степенной функции, а второй является интегралом вида I.

Рассмотрим некоторые примеры:

t = x +1

(

)

1) ∫

dx =

= ∫ t4

dt = ln

x +1

−

dt = dx

(x +1)4

x +1

−

+ C ;

2(x +1)2

3(x +1)3

2) ∫

x −1

dx найден в примере на с. 129 с помощью стандарт-

x +1

ной подстановки. Рассмотрим другой способ (для определенности ограничимся случаем x >1; случай x < −1 рассматривается аналогично). Преобразуем подынтегральную функцию:

x −1

(x −1)2

x −1

−

x2 −1

x +1

x2 −

x2 −1

Тогда исходный интеграл примет вид

d (x2 −1)

∫

x −1

dx = ∫

dx − ∫

∫

−ln

x +

−1

x +1

−1

= x2 −1 −ln x + x2 −1 + C.

Мы ознакомились с некоторыми стандартными приемами нахождения неопределенных интегралов. Интегрирование чаще всего может быть выполнено не единственным способом. Владение искусством интегрирования заключается не только в знании методов интегрирования, но и в большей степени в «видении» различных подходов к интегрированию той или иной функции, что обычно приходит с опытом, после рассмотрения многих примеров.

Понятие о «неберущихся» интегралах

Как вытекает из алгоритма интегрирования рациональной функции, интеграл от всякой рациональной функции является функцией элементарной. Элементарными функциями будут и интегралы, полученные методом рационализации. Существуют, однако, элементарные функции, интегралы от которых элементарными функциями не являются. Такие интегралы принято называть «неберущимися». В качестве примеров «неберущихся» интегралов можно привести следующие:

132

∫e−x2 dx ; ∫sin x2dx ;

∫sinx x dx = si x – интегральный синус;

∫cosx x dx = ci x – интегральный косинус.

3.2.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Дайте определение первообразной для функции f (x) на промежутке (a; b).

2.Приведите примеры двух различных первообразных для

функции f (x)= 1 −1x2 .

3. Найдите первообразную для функции f (x)= cos x , которая в точке x = π2 принимает значение, равное 10.

4. Сформулируйте определение неопределенного интеграла.

5. Всякая ли функция имеет первообразную? Рассмотрите

при x > 0,

пример: f (x)=

при x ≤ 0.

−2

6. Для каких x справедливы формулы:

а) ∫dx = ln x +C ;

б) ∫1 dx = ln

+C ;

г) ∫3

в) ∫

dx = tgx +C ;

dx =

+C ?

cos2 x

ln 3

7.Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

8.Найдите:

а) ∫0 dx ;			б)	∫dx ;	в) (∫dx)′;
г) ∫(u′(x)+ v′(x))dx ;			д)	∫(u′(x)v(x)+ u (x)v′(x))dx ;
е) ∫	f ′(x)	dx ;	ж) ∫ f (x) f ′(x)dx .
	f (x)

9. Запишите таблицу основных неопределенных интегралов и

проверьте формулы дифференцированием.

133

10. Известно, что две первообразные для функции f (x) = еx

в точке x =1 отличаются на 2. На сколько отличаются эти же пер-

вообразные в точке x =100 ?

11. График какой первообразной для функции	f (x)=	1
		1+ x2

проходит через точку с координатами (1; 2π)?

12.Изложите метод интегрирования путем подведения функции (поднесение множителя) под знак дифференциала.

13.Запишите формулу замены переменной в неопределенном интеграле. При каких условиях эта формула справедлива?

14.Запишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле. При каких условиях эта формула справедлива?

15.Запишите основные типы интегралов, которые вычисля-

ются методом интегрирования по частям.

16.Какая рациональная дробь называется правильной?

17.Что значит «выделить целую часть неправильной дроби»?

18.На какие простейшие действительные множители можно

разложить многочлен с действительные корнями?

19.Как интегрировать простейшие дробно-рациональные

функции?

20.Опишите метод неопределенных коэффициентов при разложении дроби на сумму простейших дробей.

21.Сформулируйте алгоритм интегрирования рациональной функции.

22.Какие подстановки используются для нахождения инте-

грала ∫R(sin x; cos x)dx , если подынтегральная функция рацио-

нально зависит от sin x, cos x . Приведите примеры.

23. Сформулируйте правила нахождения интегралов:

а) ∫sin kx cos mx dx; б) ∫cos kxcos mx dx; в) ∫sin kxsin mx dx.

24. Какая подстановка рационализует интеграл от дробно-

линейной иррациональности:

а)	∫	R(x; n ax +b )dx; б)	∫	R x; n	ax +b	dx; в)	∫	R(x; k x; m x; ...)dx?
					cx +d
25. Как находятся интегралы вида ∫						Ax + B
									dx ?
						ax2 +bx + c

134

sin2 x

26. С помощью каких подстановок находятся интегралы

а) ∫R(x; a2 − x2

)dx; б) ∫R(x; a2 + x2

)dx; в) ∫R(x; x2 −a2 )dx?

3.3. ПРАКТИЧЕСКИЙ МИНИМУМ

Вспомогательные сведения

−

= a

−n

1. am an = am+n .

an = am

n .

x +

− b

− 4ac

ax2 + bx + c = a

= a

Непосредственное интегрирование

Найдите неопределенные интегралы с помощью основных свойств и таблицы интегралов. Проверьте результат дифференци-

рованием:

6x4

−8x3 − 4x2 +3x − 5

3cos x − 2x2

dx .

+5 +

−

dx .

∫

1 + x2

∫

3. ∫	x + x3ex − x2		dx .
	x	3

5. ∫7 + 4sin2 x dx .

7. ∫2x exdx .

		x
		x			x			(	x	2	+	)
9. ∫			2	dx,		2				2
							= x2 +1							.
		1 + x2			x2 +1		= x2 +1							.

11.	∫ctg2 xdx,				ctg2 x =				1			−1	.
11.	∫ctg2 xdx,				ctg2 x =				2		x	−1	.
								sin			x
13.	∫tg3 x d (tgx).

4.	∫(	x −1)2	dx .
		x x
6.	∫	1		3
			+			dx .
		9 − x2	+	x2		dx .
		9 − x2		x2	−9

8. ∫2 − 1 − x2 dx . 1 − x2

10. ∫x3x−−273 dx .

12. ∫u3du .

14. ∫ cost d (cost ).

135

cos 2x

cos2 t

15. ∫1−sin t dt .

∫

3 2x

− 2

17.

dx .

19.

∫

(1 + x)

dx .

)

x 1 + x

(

21.

∫

cos2 xsin2 x

23.

∫tg

dt .

25.

∫(

cos x + sin x)2 dx .

27.

∫(

x +1)x3dx .

29.

∫

x +1

dx .

31.

∫

3xex

− 2

dx .

33. ∫32 −dx2x2 .

35.∫ 1(+ 2x2 )dx .

x2 x2 +1

37. ∫cos2 xsin2 x dx .

39.	∫	6 + x2 − 6 − x2	dx .

		36 − x4
136

16.

∫

cos 2t

dt,

cost − sin t

cos 2x = cos2 x −sin2 x

18.

∫

2 + x2 +

2 − x2

dx .

4 − x

cos

2 α

1 + cosα

20.

∫cos

dx,

sin2

1 −cosα

22.

∫12sin2 3tdt .

24.

∫

dx .

+ 2x

26.

∫

9x2

+ 6x +10

∫

28.

− 2x

5 dx .

30.

∫

6 + 2cos3 x

dx .

cos2 x

32.

∫

27 + 3x2

34.

∫

−

dx .

4 − x

9 + x

36. ∫sin2

dx .

38. ∫(1 +3 x2x )dx .

40. ∫			dx	.
	x	2	+ 2x +5

Найдите f (x):

41. ∫

f (x)dx = 2arcctg

+C .

42. ∫ f (x)dx = ln

x + x2 +5

+C .

Найдите интегралы, содержащие квадратный трехчлен:

43.

∫

44.

∫

5dx

+ 2x +3

+6x +1

45.

∫

x − 2

dx .

46.

∫

3 − 4x

dx .

+ 7x +12

2x2

− 3x + 2

47.

∫

48.

∫

+ 2x +

12x −9x

− 2

49.

∫

3x −1

dx .

50.

∫

x2 + 2x + 2

3 − 2x − x2

Замена переменной в неопределенном интеграле

Найдите неопределенные интегралы внесением (подведением) множителя под знак дифференциала (выделяя дифференциал новой переменной):

10. ∫ 3 lnx x dx .

2. ∫(3 −32x)5 dx . 5. ∫x 1 − x2 dx .

8. ∫sin3 x cos xdx .

11. ∫arctg4 xdx .

1 + x2

13. ∫				dx	. 14. ∫	dx	.
	sin	2	x	1 − ctgx		x(ln x −5)

	∫		exdx
16.					.
			2ex +1
19.	∫		3 x+1	dx .

			x +1
22.	∫		dx
						.
		cos2 (3 + 5x)

17.	∫e−		x	+5dx .
17.	∫e−		2	+5dx .
20.	∫cos(2 −3x)dx .
23.	∫					π
		sin					−	2x dx .
		sin			12		−	2x dx .
					12

∫

3 −

dx .

∫

xdx

3 + 4x

9. ∫

sin x

dx .

cos

12.

∫

arcsin2 x

1− x2

15.

∫

(

+ x

)

2arctgx 1

18.

∫

5arccos x

1 − x

21.

∫

xdx

sin2 (

7x2 )

24.

∫ex sin exdx .

137

25.

∫ 3 −2sin x cos xdx.

26.

∫

27.

∫

e3xdx

2x −3

3 −e3x

∫

28.

∫tgxdx .

29.

∫ctg3xdx .

30.

x(ln2 x + 25)

31.

∫ecos x sin xdx .

32.

∫sinecos xx dx .

33.

∫e−x2 xdx .

34.

∫

35.

∫

36.

∫

4 +5x2

3x2 −5

10 −3x2

∫

sin x

∫

37.

38.

dx .

39.

3x2 −1

7 + cos2 x

x ln2 x −9

5x −3

6x −5

xdx

40.

∫x2 + 2 dx .

41.

∫

dx .

42.

∫

3x2 −5x + 4

2x −1

43.

∫

2x −3

∫

5x +3

dx .

44.

x +1 dx .

4 +3x − x2

Найдите интегралы, применяя метод подстановки:

45.

∫

46. ∫

x + 3 = t

(2 + x) x

2 + x + 3

47.

∫

x −6

dx .

1−3x

49.

∫

x +1 +1

dx .

x +1 −1

∫

51.

x = t4 , t > 0

x +

53.

∫

dx .

(5 − 2x)3

55.

∫

x = 2 tg t

(4 + x2 )

57. ∫

= t

ex −1

	∫		dx
48.			dx		,		x = t3					.
		3					x = t3
		3
			x +1
	∫		x
50.			x		dx,					x = t6 , t ≥ 0					.
50.		3			dx,					x = t6 , t ≥ 0					.
		3	x +1
			x +1
	∫		dx
52.			dx			,				ex +1 = t				.
52.			x	1		,				ex +1 = t				.
			x
			e +
54.	∫					dx							.
54.	∫		1+ 2x +						3				.
			1+ 2x +							1+ 2x
			dx														.
56.	∫		dx						,		x = sin t или x =					1
56.	∫		2					2	,		x = sin t или x =					1
		x	1 − x													t

58. ∫x 3 a + xdx .

59. ∫	e2 x
	e2 x	dx,	ex +1 = t	.
	x	dx,	ex +1 = t	.
	x
	e +1

138

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Методом интегрирования по частям найдите интегралы:


1.	∫(5x −3)sin 2xdx .	2.	∫(x +1)ln xdx .
3.	∫xe−3 xdx .	4.	∫x3x dx .
5.	∫arctg2x dx .	6.	∫x2 cos3x dx .
	∫x arcctgx dx .		∫arcsin				x
7.		8.						dx .
							3
9.	∫ln2 xdx .	10.		∫	ln x	dx .

11. ∫(x2 −5x −3)sin (x +1)dx .					x
		12.		∫ln (1 + x2 )dx .

Интегрирование рациональных функций

Укажите, какие из указанных рациональных дробей являются правильными. Выделите целую часть в неправильных дробях:

1.	2		.		2.	2x	.		3.	7x2 +1.

	x +	5				x +5				x2 −1
4.	3x2	+1		.	5.	x2		.	6.	x5	− 4x3	.
	x3	+1				x +3				x2	− x +1

Найдите неопределенные интегралы от простейших рациональных функций (дробей):

7. ∫		dx	.		8. ∫		dx	.
	(2x −1)2					3x +5
10. ∫		3 − 4x			11. ∫		x − 2
				dx .					dx .
		2x2 −3x − 2					x2 −7x +12

9. ∫		5		dx .
	2x2 + 6x + 5
12. ∫		8 −3x
			dx .
		2x2 + x −1

Разложите дробь на простейшие, не находя коэффициентов разложения:

13.3x2 + 2x −5 .

x(x −1)3

x+1

15.(x −1)2 (x2 + x +1).

17. (x2 −5x + 4)(7 x2 −5x + 7).

x + 2

14. (x2 −1)(x2 + 2).

x3 + x

16. x4 −81 .

x − 2

18. x2 (x2 + 4)2 .

139

19.												2x + 3											.						20.										x3 + x2								.
19.			(x2 + 4x + 3)(x2 − x + 3)																				.						20.					(x4 −16)(x3 +8)													.
21.								x2 +3x +1										.
21.			(	4x3 + 4x2 + 7x)2														.
			Найдите интегралы от рациональных функций:
			∫			x2		+3x +5																	∫						xdx												24. ∫					x5 + x4 −8
22.																dx .				23.																				.																	dx .
22.								x + 2								dx .				23.						(x + 2)(2x +1)														.									x3 − 4x								dx .
25.								x2 +					1				dx .			26.						x		+ 2 2						dx			.						27.					x3 + 2							dx.

		∫x					3	−5x				2	+ 6x												∫																					∫x			3	− x				2
		∫x						−5x					+ 6x												∫	x −1 x																				∫x				− x
28.			∫					dx							.					29.					∫							3x +1										dx .
28.			∫			x(x2 + 4)									.					29.					∫	(x2 + 6x + 9)(x −5)																dx .
30.		∫						7x −15									dx .			31.					∫		x5				dx .												32. ∫					x2dx					.
30.		∫			x3 − 2x2 + 5x												dx .			31.					∫	x4 −1					dx .												32. ∫					1 − x4					.
							x3																								x							2
33.									dx				.							34.																			dx .
33.			∫x				3		dx				.							34.					∫			2	−3x					+ 2					dx .
			∫x					−1																	∫	x			−3x					+ 2
																										1 + x				7			− 2x					7
	∫					1 − x				7							1 − x			7				= (						7		)						7			1 + x			7											x	7
35.										7				dx,						7																			=					7				−		2						7				.

				(							7		)				(		+ x		7	)						(			+ x				7	)					(		+ x		7	)					x	(			+ x			7	)
						x	1 + x										x 1		+ x								x		1		+ x										x 1		+ x								x			1	+ x

Метод рационализации: интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических

			Найдите интегралы с помощью универсальной тригонометри-
ческой подстановки:
1.	∫				dx	.		2.	∫	dx		.	3.	∫						dx			.
1.	∫	2		+ cos x		.		2.	∫	4 −3sin x		.	3.	∫	1		+sin x + cos x						.
		2		+ cos x						4 −3sin x					1		+sin x + cos x
4.	∫		2 + cos x dx .					5.	∫	dx			. 6.	∫			dx			.
4.	∫		2 + cos x dx .					5.	∫	2sin x −cos x +5			. 6.	∫						.
			3 −sin x							2sin x −cos x +5						sin x
			Найдите интегралы с помощью подходящей подстановки:
	∫				sin x				∫	cos3 x				∫sin				2			3
7.							dx .	8.			dx .		9.						xcos			x dx .
7.				1		2	dx .	8.		3 −sin2 x	dx .		9.						xcos			x dx .
				3	+ cos x
				3

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
26.03.2015171 Кб55Высшая математика.docx
#
26.03.201520 Мб13высшая математика2002_copy.pdf
#
26.03.201518 Кб21Вышка. Вопросы к экзамену(3 семестр).docx
#
26.03.2015116 Кб21Вышка.doc
#
26.03.2015409 Кб18вышка.pdf
#
26.03.20155 Мб431Марченко_Высшая математика.pdf
#
26.03.2015573 Кб55ШПОРЫ ВЫШКА.docx
#
26.03.2015350 Кб89Шпоры по вышке 1.doc