Решение задач о свободных колебаниях струны методом Даламбера и методом отражений

Взадачах 14 − 19 указаны начальные возмущения струны при. Решить задачи о свободных колебаниях струны графически; изобразить форму струны в моменты времени, где; найти формулы, описывающие профиль струны в эти моменты.

14. Бесконечная струна возбуждена локальным отклонением, изображенным на рис.11 (оттянута за одну из своих точек), и отпущена без начальной скорости.

Рис. 11

15. Бесконечной невозмущенной струне сообщена на отрезке поперечная начальная скорость; вне этого отрезка начальная скорость равна нулю.

16. Полубесконечная струна, закрепленная на конце , возбуждена начальным отклонением, изображенным на рис.12. Начальные скорости струны равны нулю.

Решить эту задачу для случая, когда конец свободен.

Рис.12

17. Полубесконечной невозмущенной струне в начальный момент с помощью поперечного удара передается импульс I в малой окрестности точки x₀. Рассмотреть случаи, когда конец закреплен или свободен.

18. В начальный момент времени струна длины l с закрепленными концами была оттянута за одну из своих внутренних точек x₀ и отпущена без начальной скорости. Рассмотреть случаи .

19. Концы струны ижестко закреплены, струна находится в положении равновесия. В начальный момент времени малой окрестности точкисообщается скорость.

Решить эту задачу для случаев, когда оба конца струны свободны и когда один конец закреплен, а другой свободен.

Решение начально-краевых задач методом Фурье

В задачах 20 – 35 решение следует представить в виде ряда Фурье, как это показано в примере 1. В некоторых частных случаях ряд может содержать конечное число слагаемых.

Пример 1. Решить I НКЗ для однородного уравнения струны:

, ,,

, ,,.

Решение следует искать в виде суммы (50): , где- произвольная функция, удовлетворяющая ГУ. Выберем ее линейной поx: ; подстановка в ГУ дает

; ;;

окончательно .

Подставляя сумму (50) в исходную задачу, получаем НКЗ для функции :

, ,,

, .

Видно, что удовлетворяет неоднородному уравнению с нулевыми ГУ и неоднородными НУ. Решение такой задачи построено в§ 7, его следует искать в виде суммы , гдеудовлетворяет однородному уравнению с ненулевыми НУ,- неоднородному уравнению с нулевыми НУ:

, ,,;

, ,.

Обе функции иопределяются в виде рядов Фурье по(в нашей задаче). Выпишем разложения в ряды Фурье по синусам на промежуткедля входящих в задачу функций:

; .

Ряд Фурье для функции имеет вид (42) (в задаче):

;

подстановка его в начальные условия дает

; ,

следовательно, ,,.

Функция задается рядом (45):, подставляя его в уравнение и НУ, получаем

,

следовательно,

; ,.

Общее решение этого уравнения

;

из начальных условий следует: ;

и окончательно .

Таким образом, получены разложения в ряды для решений и; суммируя их и, приходим к окончательному ответу:

Прямой выкладкой нетрудно проверить, что полученный ряд удовлетворяет всем условиям поставленной задачи.

Пример 2. Решить смешанную НКЗ для неоднородного уравнения:

Решение будем искать в виде суммы (50): , где функцияудовлетворяет ГУ задачи. Ее можно выбрать линейной:; подстановка в граничные условия дает равенства,, следовательно,,и окончательно получаем.

Для функции возникает следующая НКЗ с нулевыми ГУ:

Решение смешанной НКЗ в виде ряда Фурье предлагалось построить в упражнении 12. Повторяя рассуждения § 6, разделим переменные, т.е. будем искать решение соответствующего однородного уравнения в виде произведения функций (40):. Подстановка произведения в однородное уравнение приводит к равенству, из которого, с учетом ГУ задачи, выводится следующая КЗ для X(x): .

Нетрудно получить набор собственных функций и собственных значений этой задачи:

, ,.

Решение как однородного, так и неоднородного уравнений следует искать в виде рядов Фурье по :

.

Подстановка ряда в уравнение и НУ дает равенства

; .

является первым членом ряда Фурье по при, поэтому, приравнивая коэффициенты Фурье, мы получаем различные задачи дляи:

;

Вторая задача имеет только тривиальное решение: , следовательно, ряд для функции состоит из одного первого слагаемого. Общее решение уравнения для: , с учетом НУ получаем

.

Для функции имеем ;

ответ исходной задачи:

.

Решение этой задачи можно было несколько сократить. Установив, что функция представима рядом Фурье по, и заметив, что все входящие в задачу функции содержат только один членэтого ряда, можно было сразу искатьв виде произведения:.

Пример 3. Решить вторую НКЗ для однородного уравнения струны:

Решение задачи будем искать в виде суммы (50): , при этом попытаемся подобрать функцию, одновременно удовлетворяющую уравнению и ГУ; обычно это удается, если в задаче фигурируютconst, exp, sin, cos. Функцию будем искать в виде, где,. Подстановка в уравнение дает, дляполучаем уравнение.Его общее решение имеет вид, из начальных условий следует, что. В результате получаем

и .

Подставим сумму в исходную задачу:

Для функции возникла задача из однородного волнового

уравнения с однородными НУ и ГУ, которая имеет только тривиальное решение: . Ответ исходной задачи:

.

Отметим, что в общем случае при таком методе решения для функции возникает задача из однородного уравнения с однородными граничными и неоднородными начальными условиями. Для граничных условийII рода ее решение следует искать в виде ряда:

.

20. Однородная струна со свободным концом и закрепленным концомимеет в начальный момент форму квадратичной параболы:. Определить смещение точек струны от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

21. Однородная струна, закрепленная на конце и свободная на конце, находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времениона получает в точкеx₀ удар от молоточка, который сообщает этой точке скорость v_0. Описать свободные колебания струны. Молоточек считать плоским, шириной :

22. Однородная струна, свободная на конце и закрепленная на конце, находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времениона получает в точкеx₀ удар от молоточка, который сообщает этой точке скорость v_0. Описать свободные колебания струны. Молоточек считать выпуклым, шириной :

23. Описать продольные колебания цилиндрического стержня, один конец которого свободен, а к другому с момента приложена сила, направление которой совпадает с осью стержня. (Считать, чтоне совпадает с собственными частотами стержня.)

24. На струну длиной l действует внешняя возмущающая сила, плотность которой равна (не совпадает с собственными частотами струны). Найти закон колебаний струны, если начальные отклонения и скорости равны нулю, левый конец струны закреплен, а правый свободен.

В задачах 25 – 28 функция определена при,.

25. ,,,,.

26. ,,,,.

27. ,,,.

28. ,,,.

В задачах 29–32 функция определена при,.

29. ,,.

30. ,,.

31. ,

, ,,.

32. ,

, ,,.

В задачах 33–35 функция определена при,.

33. ,

, ,,.

34. ,

, ,,.

35. ,

, ,.

Для домашних заданий удобно использовать богатый набор однотипных нетрудных задач из сборника [5], глава XI. Задачи для уравнения свободных колебаний струны с однородными ГУ полезно решать двумя способами: методом отражений и методом Фурье и сравнивать результаты.

Библиографический список

1. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. 2-е изд. М., 1985.

2. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. 3-е изд. М., 1980.

3. Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., 2003.

4. Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. 13-е изд. СПб., М., 2003.

5. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. М., 1994.

6. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. 2-е изд. М., 1973.

7. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. 21-е изд. М., 1974.

8. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. 6-е изд. М., 1975.

9. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 5-е изд. М., 1977.

О г л а в л е н и е

Введение 4