6. ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ И ТЕХНОЛОГИИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ. МОДЕЛИ И ИНФОРМАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

6.1.Алгоритм и его свойства

6.1.1.Различные подходы к понятию “алгоритм”. Алгоритм – одно из фундамен-

тальных понятий информатики. Алгоритмизация наряду с моделированием выступает в ка- честве общего метода информатики. Особенность положения состоит в том, что при реше- нии практических задач, предполагающих разработку алгоритмов для реализации на ЭВМ, почти всегда можно не опираться на высокую формализацию данного понятия. В таких слу- чаях достаточно содержательного толкования понятия алгоритма и рассмотрения его основ- ных свойств. При таком подходе алгоритмизация выступает как набор определенных прак- тических приемов, особых навыков рационального мышления в рамках заданных языковых средств.

Понятие алгоритма в математике прошло большой путь развития. Общее определение алгоритма, имеющее интуитивный характер следующее.

Алгоритм – это общий, единообразный, точно установленный способ решения любой задачи из данной массовой проблемы. Таким образом, алгоритм всегда связан с решением массовой проблемы. Задачи такого класса отличаются друг от друга значениями входящих в них параметров. Примеры алгоритмов: извлечение квадратного корня, предельный переход, нахождение производной и тому подобное. Приведенное понятие алгоритма нестрогое. В нем встречаются слова, точный смысл которых не установлен, например, “способ”. Тем не менее, даже при таком определении можно выделить некоторые характерные черты алго- ритма:

§дискретность. Каждая последующая величина получается из значений преды- дущих по определенному закону. Все величины получаются последовательно друг за другом;

§детерминированность. Между всеми величинами, получаемыми алгоритмом, существует жесткая причинная связь. Последующие значения зависят от пре- дыдущих;

§элементарность шагов алгоритма. Закон получения последующей системы ве- личин из предшествующей должен быть простым;

§массовость. Начальная система величин выбирается из некоторого множества. Начальные условия могут варьироваться в бесконечных пределах;

§результативность. Конечный результат всегда должен быть получен. Описанные свойства алгоритма следует считать эмпирическими. Они выявлены на

основе обобщения свойств алгоритмов различной природы и имеют прикладной характер. Слово “алгоритм” происходит от имени математика аль Хорезми (ал Горезми – алгоритм). Интуитивное понятие алгоритма работает, когда речь идет о найденном алгоритме решения конкретной задачи. Положение существенно меняется, если возникает алгоритмическая про- блема, решение которой не найдено, и требуется установить, имеет ли она решение. В этом случае надо доказать либо существование алгоритма, либо его отсутствие. Первое можно сделать путем фактического описания процесса, решающего задачу. В этом случае достаточ- но и интуитивного понятия алгоритма, чтобы удостовериться в том, что описанный процесс есть алгоритм. Доказать не существование алгоритма таким путем невозможно. Для этого необходимо точное формальное определение.

Вуточнении понятия алгоритма выделяются три направления:

Абу Джафар Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (ок. 783- ок. 850) – арабский математик.

237

q уточнение понятия эффективно вычислимой функции. Этим занимались А. Чёрч и К. Гёдель . В результате был выделен класс частично рекурсивных функций, имеющих строгое математическое определение;

qмашинную арифметику. Здесь сущность понятия алгоритма раскрывается пу- тем рассмотрения процессов, осуществляемых в вычислительной машине;

q направление, связанное с понятием нормальных алгоритмов из работ А. Маркова .

Существование различных определений понятия алгоритма имеет и свои преимуще- ства, так как для решения различных задач удобно использовать различные наиболее подхо- дящие для этого случая определения.

Первое направление уточнение – понятия алгоритма – связано с точным описанием специального класса функций, называемых рекурсивными. Числовые функции, значения ко- торых можно вычислить посредством алгоритма, называются вычислимыми функциями. По- нятие алгоритма здесь не определено формально точно, поэтому понятие вычислимой функ- ции оказывается интуитивным. Однако совокупность вычислимых функций, соответствую- щих условиям 1-5, т.е. удовлетворяющих характерным чертам алгоритма для многих процес- сов, оказалась одной и той же, легко описываемой в математических терминах. Эта точно описанная совокупность числовых функций, совпадающая с совокупностью всех вычисли- мых функций при самом широком понимании алгоритма, называется совокупностью рекур- сивных функций.

Рекурсивные функции впервые описаны Гёделем, затем в 1936 году Чёрч пришел к такому же классу функций. Анализ идей, лежащих в основе определения рекурсивных функ- ций, позволил Чёрчу высказать гипотезу о том, что класс рекурсивных функций тождестве- нен с классом всюду определенных вычислимых функций. Эта гипотеза известна под именем тезиса Чёрча; доказать ее нельзя, так как понятие вычислимой функции точно не определе- но. В силу тезиса Черча вопрос о вычислимости функции равносилен вопросу о её рекурсив- ности. Понятие рекурсивной функции строгое. Поскольку в алгоритмических проблемах речь обычно идет не об алгоритмах, а о вычислимости некоторых, специальным образом по- добранных решающих проблему функциях, то можно строго доказать, что решающая кон- кретную задачу функция не может быть рекурсивной, а, следовательно, не существует и ал- горитма решения этой задачи. Именно этим путем Чёрч доказал неразрешимость алгоритми- ческой проблемы логики предикатов.

Если первое направление уточняет понятие алгоритма через класс рекурсивных функ- ций, то второе, связанное с машинной арифметикой, сначала уточняет понятие алгоритма, а затем определяет класс вычислимых функций. Это направление развито Э. Постом и А. Тьюрингом . Основная идея этого направления заключается в том, что алгоритмиче- ские процессы – это процессы, которые могут имитироваться на подходяще построенных машинах, которые описываются в точных математических терминах. В результате оказыва- ется, что сложные процессы можно моделировать на простых устройствах. Всякий алгоритм может быть задан некоторой функциональной схемой и реализован в соответствующей ма- шине Тьюринга. Эта гипотеза называется тезисом Тьюринга. Его также нельзя доказать, по той же причине, что и тезис Чёрча. Все известные до сих пор алгоритмы могут быть заданы посредством тьюринговых функциональных схем.

Третье направление – теория нормальных алгоритмов Маркова.

Алонзо Чёрч (1903 – 1995) – американский математик и логик.

Курт Фридрих Гёдель (1906 – 1978) – немецкий математик и логик.

Андрей Андреевич Марков (1903 – 1979) – советский математик.

Эмиль Леон Пост (1897 – 1954) – американский математик и логик.

Алан Матисон Тьюринг (1912 – 1954) – английский математик.

238

Будем называть алфавитом A всякое непустое конечное множество символов, сами символы называются буквами. Словом в алфавите A называется всякая конечная последова- тельность букв этого алфавита. Простейшими действиями в нормальных алгоритмах Марко- ва являются последовательные замены вхождений подслов специального вида на другие сло- ва. Нормальный алгоритм может переводить слово α в слово β , причем на множестве слов используемого алфавита слово β однозначно определяется этим алфавитом и словом α . Нормальный алгоритм может быть и не применим к слову α , если он не преобразует α ни в какое слово.

Основное положение об “универсальности” нормальных алгоритмов – принцип нор- мализации: любой алгоритм над конечным алфавитом A эквивалентен относительно A не- которому нормальному алгоритму над A . Этот принцип подобен тезисам Чёрча и Тьюринга и недоказуем из-за неопределенности формального понятия алгоритма. На практике доста- точно ограничиться алгоритмами, действующими на последовательностях натуральных чи- сел и выдающих в качестве значений также последовательности натуральных чисел. Дейст- вия нормальных алгоритмов Маркова похожи на действия машин Тьюринга.

Все эти возникшие исторически независимо друг от друга подходы оказались впо- следствии эквивалентными. Вместе с тем, формально определенный любым из известных

способов алгоритм не может в практическом программировании заменить данное в начале текущего раздела нестрогое определение. Основная причина состоит в том, что формальное определение резко сужает круг рассматриваемых задач, делая многие практически важные задачи недоступными для рассмотрения.

6.1.2. Графическое представление алгоритмов. Алгоритм, составленный для неко-

торого исполнителя, можно представить различными способами: с помощью графического или словесного описания, в виде таблицы, последовательностью формул, записанным на ал- горитмическом языке. Рассмотрим следующие способы описания алгоритма: словесное опи-

сание, псевдокод, блок-схема, программа.

Словесное описание представляет структуру алгоритма на естественном языке. Ника- ких правил составления словесного описания не существует. Этот способ строго не форма- лизуем, допускает неоднозначность толкования при описании некоторых действий, страдает многословностью, поэтому не имеет широкого распространения.

Псевдокод – описание структуры алгоритма на естественном, но частично формали- зованном языке. В псевдокоде используются некоторые формальные конструкции и обще- принятая математическая символика, и он позволяет выявить основные этапы решения зада- чи перед точной ее записью на языке программирования. Единого формального определения псевдокода не существует, поэтому возможны различные псевдокоды.

Блок- схема – это описание структуры алгоритма с помощью геометрических фигур с линиями-связями, показывающими порядок выполнения отдельных инструкций, т. е. это ориентированный граф, указывающий порядок исполнения команд алгоритма. Этот способ весьма нагляден, обеспечивает “читаемость” алгоритма.

Описания алгоритма в словесной форме, на псевдокоде или в виде блок-схемы допускает некоторый произвол при изображении команд. Вместе с тем эти способы позволяют человеку понять суть дела и исполнить алгоритм. Однако для компьютера алгоритм должен быть записан на “понятном” ему языке, такой формализованный язык называют языком программирования. Программа – описание структуры алгоритма на языке программирования.

239

редачу управления от одного из двух входов к выходу. Особое значение для практики алго- ритмизации имеют четыре блок-схемы: композиция или следование (рис. 6.2 а); альтернати- ва или ветвление (рис. 6.2 б); итерация или цикл с предусловием (рис. 6.2 в) или постуслови-

ем (рис. 6.2 г).

Рис. 6.2. Основные алгоритмические структуры

Доказано, что логическая структура любой программы может быть выражена комбинацией трех базовых структур: следования, ветвления и цикла (теорема Боэма – Якопини ).

Следование – самая важная из структур. Она означает, что действия могут быть вы- полнены друг за другом. Прямоугольники, показанные на рисунке 6.2 а, могут представлять как одну единственную команду, так и множество операторов, необходимых для выполнения сложной обработки данных.

Ветвление – это структура, обеспечивающая выбор между двумя альтернативами. Выполняется проверка, а затем выбирается один из путей (см. рис. 6.2 б). Эта структура на- зывается также ЕСЛИ – ТО – ИНАЧЕ. Каждый из двух путей ведет к общей точке слияния, так что выполнение программы продолжается независимо от того, какой путь был выбран.

Цикл предусматривает повторное выполнение некоторого набора команд программы и позволяют записать длинные последовательности операций обработки данных с помощью небольшого числа повторяющихся команд. Каждый цикл либо начинается, либо заканчива-

Коррадо Боэм (р. 1923) - итальянский математик.

240