Длина вектора. Направляющие косинусы вектора
Z
aZ
Пусть
a = (aX,
aY,
aZ)
a
O
aY Y
aX
X Так
как a
является диагональю параллелепипеда,
то квадрат его длины равен сумме квадратов
всех измерений параллелепипеда:
a 2 = (a2X + a2Y + a2Z), откуда a = (a2X + a2Y + a2Z)
ПрXa = a *cos, ПрYa = a *cos, ПрZa = a *cos,
Направляющие косинусы вектора а будут
cos = aX / a cos = aY / a cos = aZ / a
Из вышеизложенного следует, что для направляющих косинусов справедливо следующее:
сos2 + cos2 + cos2 = (a2X + a2Y + a2Z) / a 2 = 1
Понятие базиса. Разложение вектора по базису
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат.
Изобразим вектор так, чтобы он выходил из начала координат:
Z
Z
A
k
O j Y
Y
i
X
B
X
Определение: Базисом для прямоугольной системы координат называют
тройку векторов i, j, k,
Теорема(Разложениевекторапо базису):
Любой
вектор в пространстве, который имеет
координаты(X,Y,Z)
может быть разложен по базису следующим
образом:
= X
* i
+
Y
* j
+ Z
* k
Доказательство:
O
A
= OB
+ OAZ
- (см.рис). Из основания параллелепипеда
можно
получить, что вектор OB = OAX + OAY откуда: OA = OAX + OAY + OAZ
Рассмотрим векторы:
OAX
i
- коллинеарен, т.е. OAX
= X
* i
OAY j , тогда OAY = Y * j
OAZ
k
, тогда OAZ
= Z
*
k ,
т
.о.
= X
* i
+
Y
* j
+ Z
* k, что
и требовалось доказать.
Скалярное произведение векторов
О
пределение:
Скалярным произведением векторов
и b называется число
равное произведению длин этих векторов
на косинус угла между ними.
* b =
*
b *
cos
=
(
, b),
b *
cos
= Пр
b
b
*
cos
= Прb
, тогда
* b =
*
Пр
b =
b *
Прb
Свойства скалярного произведения.
1) * b = b * - переместительное свойство
2) ( * ) * b = * ( * b )
3
)
(
+ b
) * c
=
* c
+ b
* c
- распределительное относительно суммы
(
+ b
) * c
= c
* ПрC
(
+ b
) = c*
(ПрC
+ ПрCb)
=
* с + b
* c
4
)
*
= 2 -
квадрат длины
5) Условие перпендикулярности двух векторов:
b
* b
= 0
Следствия изсвойств скалярного произведения.
1. Скалярные произведения одноименных ортов равны 1
i 2 = j 2 = k 2 = 1
2. Скалярные произведения разноименных ортов равны 0
i * j = j * k = k * i = 0
Скалярные произведения векторов через координаты
Пусть = x *i+ y *j+ z*k b = bx *i+ by *j + bz *k
Тогда на основании выше рассмотренных свойств
*
b = x
*bx*
i 2+
x
*by*i
* j+ x*bz*i
* k + y*bx*
j * i +
+
y
* by
* j 2+
y
* bz
* j * k + z
* bx
* k * i + z
* by
* k * j+
z
* bz
* k 2
= x
* bx
+ y
* by
+ z
* bz
Векторное произведение двух векторов
Векторным
произведением векторов
и b
является такой вектор c,
для которого выполняются следующие
условия:
1
)Длина
вектора c
равна площади
параллелограмма, построенного на
векторах
и b
2
)c
перпендикулярен и c
перпендикулярен b , c
; c b
3
)
векторc
направлен
таким образом, чтобы кратчайший
поворот от вектора
к вектору b
происходил против
часовой стрелки, при
условии, что мы наблюдаем
с конца вектора
c.
В этом случае говорят, что векторы ,
b,
c, образуют правую
тройку векторов.
c
b
Свойства векторного произведения:
1)
x
b
= - b
x
2)
*
x
b
= *(
x
b
)
3)
(
+
b ) x c =
x
c + b x c 4)
x
b = 0
b
Следствияиз данных свойств:
1)
i
x
j
= j
x
j
= k
x
k
= 0 ;
2) i x j = k , j x i = - k , k x i = j , i x k = - j,
j x k = i , k x j = - i ;
3) = x *i + y*j + z *k , b = bx *i + by *j + bz *k ,
x
b
= x*bx*
i
x i
+ x*by*
i
x j
+ x*bz*
i
x k
+ y*bx*
j
x i
+ y*by*
j
x j
+ y*bz* j x k + z*bx* k x i + z*by* k x j + z*bz* k x k =
= x*by* k - x*bz* j - y*bx* k + y*bz* i + z*bx* j - z*by* i =
=
(y*bz
-
z*by
) * i
+ (z*bx
- x*bz)
* j
+ (x*by
- y*bx)
* k
=
i j k
= x y* z
bx by bz
Пример: = ( 3 ; -1 ; 2 ) , , b = (- 2 ; 3 ; -5)
- 1 2 3 2 3 - 1
x b = 3 - 5 * i - - 2 - 5 * j + 2 3 * k
=
-1* i
+ 11* j
+ 11* k