42. Теорема о поведении функции в окрестности полюса.

Теорема: Для того чтобы точка была полюсом ф-и f(z), необходимо и достаточно, чтобы разложение ф-и в ряд Лорана в окрестности этой точки содержало лишь конечное число членов с отрицательными степенями ():

, ,.

В этом случае точка называетсяполюсом k ф-и f(z). В случае k=1 полюс называется простым.

Теорема о полюсе: Если ф-я f(z), аналитическая в окрестности изолированной особой т. , неограниченно возрастает по модулю при, то эта т. полюс.

Д-во: .

Тогда в окр-ти.

=>

Для ф-и т.–УОТ.

-т.к. предел =0, ,.

.

Если т.явл-ся нулем кратностиm для ф-и , то для ф-ит.- полюсm-го порядка.

43. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса

Какого бы ни было , в любой окрестности существенно осбой точки функцииf(z) найдется хотя бы одна точка , в которой значение функции отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на .

Доказательство:

Предположим, что теорема неверна, т.е. при заданном комплексном числе B и заданном

найдется такое , что во всех точкахz из -окрестности точкизначение функции отличается от заданного В больше чем на:

|<,(1)

Рассмотрим вспомогательную функцию . В силу условия (1) функцияопределена и ограничена в-окрестности точки. Следовательно, по теореме о том что если точкаявляется устранимой особой точкой функцииf(z), то существует предельное значение =, точкаявляется устранимой особой точкой функции. Это означает, что разложение функции в окрестности точки будет иметь вид:

Тогда в силу определений функции , в данной окрестности точкиимеет место следующее разложение функцииf(z):

Где аналитическай функция ограничена в -окрестности точки . Но такое разложение означает, что точка является полюсом или правильной точкой функции , и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.

_____________________________________________________________

44. Разложение функции в ряд Лорана в окрестностях бесконечно удаленной точки

Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции f(z) , если можно указать такое значение R, что вне круга |z|>R функция f(z) не имеет особых точке, находящихся на конечном расстоянии от точки z=0. Так как f(z) является аналитической функцией в круговом кольце R<|z|<, то ее можно разложить в ряд Лорана: ,R<|z|< (1) сходящийся k f(z) в данном кольце. Так же как и для конечной изолированной особой точки здесь возможны 3 случая:

1)Точка z=∞ называется устранимой особой точкой функции f(z), если разложение (1) не содержит членов с положительными степенями z, т.е. ,если присуществует конечное предельное значение функцииf(z), не зависящее от способа предельного перехода. Если =…=, то бесконечно удаленная точка является нулемm-ого порядка функции f(z).

2) Точка z=∞ называется полюсом порядка m функции f(z), если разложение (1) содержит конечное m число членов с положительными степенями z, т.е. ,и если эта функция неограниченно возрастает по модулю принезависимо от способа предельного перехода

3) Точка z=∞ называется существенно особой точкой функции f(z) , если разлодение содержит бесконечное число членов с положительными степенями z, т.е. , или если в зависимтости от выбора последовательностиможно получить последовательность значений, сходящуюся к любому заданному пределу.

Очевидно доказательство эквивалентности всех приведенных выще определений характера изолированной особой точки z=∞ может быть приведено как и для случая конечной изолированной особой точки.

______________________________________________________________