Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_po_matanu

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

796 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Тогда :

	+∞		+∞
1) Если ∫ g ( x) dx сходится, то ∫ f ( x) dx сходится
	a		a
	+∞		+∞
2) Если ∫		f ( x) dx расходится, то ∫ g ( x) dx расходится
	a		a
Критерии сходимости
1) Критерий сходимость через остаток

+∞		b	+∞
∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx
a		a
a		a	b
			остаток
	+∞			+∞
1. Если ∫		f ( x) dx сходится, то b > a остаток ∫ f			( x) dx сходится
	a			b
		+∞	+∞
2. Если b > a; ∫			f ( x) dx, то ∫ f ( x) dx
		b	a

2) Критерий Коши

+∞

∫ f ( x) dx сходится ε > 0 b > a, b1 > b, b2 > b :

∫ f ( x) dx < ε

3) Критерий сходимости несобственного интеграла от положительной

(неотрицательной) функции

+∞

∫

f ( x) dx сходится F (b) = ∫ f

( x) dx ограничена, то есть M = const

F (b)

b > a;

≤ M

Пример 1:

+∞ sin2 (π

)

∫

3 x4

sin2 (π

)

f ( x) =

≤

= g ( x)

3 x4

x 3

+∞

+∞ sin2 (π

)

∫

− сходится ∫

dx сходится по первому признаку

3 x4

x 3

Пример 2 :

+∞

2x +1

dx; g ( x) =

2x +1

= f ( x)

∫

+ 3x

+ 3x x

1 +∞ dx

+∞

2x +1

∫

расходится ∫

расходится по первому признаку сравнения

+ 3x

Второй признак сравнения (в оценочной форме) :

f Î R [a, b]; g Î[a, b];

Пусть f ( x) ³ 0; g ( x) > 0; " x ³ a; "b > a;

lim

f ( x)

= k ¹ 0

и ¹ ¥

g ( x)

+∞

Тогда ∫

f ( x) dx и ∫ g ( x) dx либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся

Следствие:

Если f ( x) g ( x) при x ® +¥,

то интегралы ведут себя одинаково

Пример 3 :

+∞

x3 + 2x +1

∫

x4 + 5x

x3 + 2x +1

f ( x) =

x 2

= g ( x)

x4 + 5x

x 2

+∞ dx

+∞

x3 + 2x +1

∫

сходится.

Тогда ∫

dx сходится

+ 5x

x 2

Определение:

+∞

∫

f ( x) сходится абсолютно, если ∫

f ( x)

dx сходится

Определение:

+∞

Если ∫

f ( x)

расходится, а ∫

f ( x) сходится, то ∫ f ( x) сходится условно

Теорема :

Из абсолютной сходимости следует обычная сходимость

+∞	+∞
∫ f ( x) dx	сходится абсолютно ∫ f ( x)dx сходится
a	a

Лекция 14

Признаки сходимости несобственных интегралов от функций

произвольного знака

Признак Дирихле:

+∞

∫ f ( x) g ( x) dx;

Пусть:

1) F (b) = ∫ f ( x) dx - ограничена, то есть $M = const; "b > a;

F (b)

£ M

$ g¢( x) непрерывная и знакопостоянная при x ³ a

3) lim g ( x) = 0

x→∞

+∞

( x) g ( x) dx сходится

Тогда ∫

Пример :

+∞

sin x

∫

dx; α > 0

f ( x) = sin x; g ( x) = x−α ;

F (b)

= (- cos b + cos1) £ 2

∫sin xdx

2) g¢( x) = -

непрерывна при x ³ 1; g¢( x) < 0

α +1

3) lim g ( x) = lim

= 0

x→∞

x→∞ x

Интеграл сходится по признаку Дирихле

Признак Абеля :

+∞

∫ f ( x) g ( x) dx

+∞

Пусть: 1)

∫ f ( x) dx сходится

$ g¢( x) непрерывна и знакопостоянна

$M = const

g ( x)

£ M ; "x ³ a

+∞

f ( x) g ( x)dx сходится

Тогда ∫

Пример :

+∞ sin x

∫ xα arctgxdx

f ( x) = sin x ; g ( x) = arctgx; xα

+∞

1) ∫ f ( x) dx сходится (смотрите прошлый пример, господа)

1
2) g '( x) =	1	непрерывна при x ³ 1; g '( x) > 0

	x2 +1

3) g ( x) £ π

Сходится по признаку Абеля

Понятие о несобственных кратных интегралах

Несобственный двойной интеграл первого рода

Пусть f ( x, y ) ограничена на D; D - неограниченная область; D Ì R2

Пусть $ последовательность множеств {Вn }; n Î N

B Ì R2 ; "n Î N; f ( x, y ) интегрируема на B
n		n
B1 Ì B2 Ì ... Ì Bn Ì Bn+1 Ì ...; Bn		® D при n ® +¥
Тогда ∫∫ f ( x, y ) dxdy = lim	∫∫ f	( x, y ) dxdy
n→+∞
D	Bn

если предел существует

и не зависит от {B }

Пример :

Вычислить ∫∫ e− x

− y

dxdy; где D :

+ y

£ n

B : x ³ 0

y ³ 0

−(x2

+ y2 )

dxdy = lim

−(x2

+ y2 )

dxdy =

∫∫ e

n→+∞

e− ρ

×e−

= lim

∫

dϕ

∫

ρd ρ

= lim

n→+∞

³ 0 ³ 0

x = ρ cosα		=

y = ρ sin α

n = - π × lim

0 4 n→+∞

e−n2 + π = π

4 4

Пример 2 :

+∞

I = ∫ e− x2 dx − интеграл Пуассона

	0
+∞	+∞
∫	dx ∫ e− x2 − y2 dy = π
0	0	4
0	0
+∞		+∞	π
∫ e− x2 dx ∫ e− y2 dy =			π
0		0	4
0		0
		+∞				+∞
I 2 = π ;		+∞		π		+∞
		∫ e− x2 dx =				∫ e− x2 dx =
					;		π
					;		π
	4	0	2			−∞
		0				−∞

Несобственный интеграл второго рода

D − ограниченная область. ( x0		, y0 ) D; lim f ( x, y) = ∞
		x→x0
		y→ y0
∫∫ f ( x, y ) dxdy = lim	∫∫ f ( x, y ) dxdy
n→∞
D	Bn

Пример :

cos (x2 + y2 )

∫∫ x2 + y2 dxdy; D : x2 + y2 ≤ R2

(0, 0) − особая точка

B :

≤ x2 + y2

≤ R2

cos (x2 + y2 )

2π

cos ρ 2

cos z

∫∫

dxdy = ∫ dϕ ∫

ρd ρ = *(z = ρ 2 )* = π ∫

dz =

+ y

U =

dU = −

sin

;

sin z

sin R2

sin z

= π

sin z

∫

= π

−

+ ∫

= cos dz;

V = sin z

sin z z;

sin z

∫∫

cos (x2 + y2 )

dxdy = lim

(...) 2π

sin R2

−1

+ lim

sin z

+ y

n→+∞

x→+∞ ∫

расходится

Признаки сравнения двойных интегралов

r = x2 + y2

Если 0 < f ( x, y ) <			1		; ( p > 2), то интеграл ∫∫ f ( x, y )dxdy сходится
Если 0 < f ( x, y ) <				p	; ( p > 2), то интеграл ∫∫ f ( x, y )dxdy сходится
			r			D
						D
f ( x, y ) ³	1	; ( p £ 2), то интеграл ∫∫ f ( x, y )dxdy расходится
f ( x, y ) ³	p	; ( p £ 2), то интеграл ∫∫ f ( x, y )dxdy расходится
	r					D
						D
Если несобственый двойной интеграл второго рода
0 < f ( x, y ) £				1		; ( p < 2) cходится
0 < f ( x, y ) £				r p		; ( p < 2) cходится
				r p

f ( x, y ) ³ 1 ; ( p ³ 2) расходится r p

Аналогично для тройных интегралов первого и второго рода

Ряды

Числовые ряды

a1 + a2 + ... + an + an+1 + ...

Sn - сумма n первых членов ряда

S1 = a1; S2 = a1 + a2 ; ... ; Sn = a1 + a2 + ... + an

Определение:

Сумма числового ряда - это предел последовательности суммы

S = lim S

n→∞ n

Если предел существует и конечен, то ряд сходится к этому числу S

Если предел равен бесконечности или не существует, то ряд расходится

Пример :

a + a × q + a × q2 + ... + a × qn−1

+ a × qn

+ ...

Sn = a + a × q + a × q2 + ... + a × qn−1 = a ×

1- qn

1- q

1) Если

< 1, то

n ® 0

Û qn

® 0; S =

- ряд сходится

n→∞

- q

2) Если

> 1, то

n ® ¥ Û qn ® ¥

n→∞

S = lim Sn = ¥ - ряд расходится

n→∞

= 1

q = 1: a + a + ... + a + a + ...

Sn = n × a ® ¥ (при a ¹ 0);

ряд расходится

4) q = -1: a - a + a - a + ...

S1 = a; S2 = a - a = 0;

S3 = a;

S4 = 0

lim Sn

не существует ряд расходится

n→∞

Необходимое условие сходимости

∞

Если ряд ∑ an сходится, то предел общего члена равен нулю

n=1

lim a = 0

n→∞ n

!В обратную сторону нельзя использовать!

Это условие используют для установления расходимости

Если lim a ¹ 0, то ряд расходится

n→∞ n

Лекция 15

Свойства сходящихся рядов

∞	∞
Пусть ∑ an	сходится к S1 , а ∑bn сходится к S2
n=1	n=1

Тогда :

∞

1) ∑(an + bn ) сходится к S1 + S2

n=1

∞

2) ∑k × an сходится к (k × S1 )

n=1

Определение:

a + ... + a + a + + a + + ...

1 n n 1 n 2

Sn	Rn
∞	∞
Rn = ∑an+k	− остаток ряда ∑ an
k =1	n=1

Критерий сходимости числового ряда

1) Критерий сходимости через остаток

Если ряд an сходится, то сходится любой из его остатков

∞	∞
1) ∑an сходится N ; RN = ∑ an сходится
n=1	n= N +1
∞	∞
2) N0 ; RN0 = ∑ an	сходится, то ∑ an сходится
n= N0 +1	n=1

2) Критерий Коши


	∞			(ε ) ; n > n0 p
∑an сходится ε > 0 n0 = n0				(ε ) ; n > n0 p
	n=1
	an+1 + an+2 + ... + an+ p		< ε
	an+1 + an+2 + ... + an+ p		< ε
	Sn+ p − Sn	< ε
	Sn+ p − Sn	< ε

3) Критерий сходимости для положительных рядов

∞	∞
Дан ∑ an , an	³ 0. Тогда ∑ an сходится Û {Sn } ограничена сверху
n=1	n=1

(последовательность его частичных сумм ограничена сверху)

Признаки сходимости положительных рядов

Признаки сравнения

С чем сравнивать?

∞

1) a + a × q + ... + a ×qn−1 + ... = ∑ a × qn−1 - геометрический ряд

n=1

Сходится, если

< 1

Расходится, если

³ 1

∞

2) ∑

= 1+

+... +

+ ...

n=1

n p

2 p

n p

Сходится, если p > 1

Расходится, если p £1

∞

∑

= 1+

+ ... +

+ ...

расходится. Гармонический ряд

n=1 n

Первый признак сравнения (в оценочной форме)

∞

Даны два ряда ∑ an ,

∑bn ,

0 £ an £ bn "n Î

n=1

∞

Тогда : 1) Если ∑bn

сходится, то ∑ an сходится

n=1

∞

2) Если ∑ an расходится, то ∑bn расходится

n=1

Замечание: оценка an

£ bn может выполняться не для всех n Î , а "n ³ n0

Второй признак сравнения (в предельной форме)

∞

Пусть даны ∑ an ,

∑bn , an

³ 0, bn > 0

n=1

Пусть $lim

= k

n→∞ b

Тогда :

∞

1) Если k ¹ 0, k ¹ ¥, то ∑ an

и ∑bn ведут себя одинаково

n=1

∞

2) Если k = 0, то если ∑bn

сходится ∑ an

сходится

n=1

∞

если ∑ an

расходится ∑bn расходится

n=1

∞

3) Если k = ¥, то если ∑ an

сходится ∑bn

сходится

n=1

∞

если ∑bn

расходится ∑ an расходится

n=1

Следствие:

Если f ( x) g ( x) при x ® +¥; f ( x) = an ,

g ( x) = bn

∞

Тогда ∑ an и

∑bn

ведут себя одинаково

n=1

Примеры:

1) Исследовать на сходимость ряд

∞

arctgn

∑

arctgn

= ∑ an ; an

= bn

n=1 n2 + 3

n=1

n2 + 3 n2

∑bn =

π ×∑ 1 ( p = 2 >1)

∞

n=1

n=1 n2

∞

Тогда по первому признаку сравнения ∑ an

сходится

n=1

∞

n -1

∞

2) ∑

= ∑ an

n ×tg

n=1

+ 2n

n=1

n -1

an =

n ×tg

n3 ×

= bn

+ 2n

∞

p =

< 1

∞

∑b

∑

- об общ - расх. ряд

∑b расходится

n=1

n=1 n

n=1

∞
∑ an	расходится по второму признаку сравнения
n=1	70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.04.2019169 Кб7Lektsii_po_filosofii_1.doc
#
27.03.201563 Кб89Lektsii_po_filosofii.docx
#
11.03.20162 Мб150Lektsii_po_GA_2sem.doc
#
21.12.20181 Мб7lektsii_po_informatike_1kurs.doc
#
03.05.2015824 Кб114Lektsii_po_KFP_13i_zadachi.docx
#
27.03.2015796 Кб13Lektsii_po_matanu.pdf
#
16.04.20192 Мб9Lektsii_po_nasosam.docx
#
01.04.2025316 Кб0lektsii_Startseva.docx
#
27.03.201546 Кб33lektsii.doc
#
27.03.2015122 Кб44Lektsii.doc
#
06.08.201990 Кб31Lektsii.docx