Lektsii_po_matanu

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

к f ( x0 ) по определению

∑ fn ( x) сходится в точке x0

к f ( x0 ) по определению

$n0 = n0 (ε ; x0 ) "n > n0

Sn ( x0 ) - f ( x0 )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

796 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Равномерная сходимость Поточечная сходимость

Определение:

Ряд сходится равномерно к f ( x) на множестве;

Sn ( x) ® f ( x)

"ε > 0	$n0 = n0 (ε ) "n > n0 "x Î X	Sn ( x) - f ( x)	< ε
"ε > 0	$n0 = n0 (ε ) "n > n0 "x Î X	Sn ( x) - f ( x)	< ε

Из равномерной сходимости следует поточечная

Критерий Коши для равномерной сходимости

∞

∑ fn ( x) сходится равномерно на X к f ( x)

n=1

ε > 0 n0 = n0 (ε ) n > n0 p ; x X fn+1 ( x) + fn+2 ( x) + ... + fn+ p ( x) < ε

Sn+ p ( x) − Sn ( x) < ε

Признак Вейерштрасса для равномерной сходимости

	∞		∞
Дан ∑ fn ( x). Если $∑ an - числовой ряд, такой что:
	n=1		n=1
1) "n Î		fn ( x)		∞
				∞
			£ an ; "x Î X ;	∑an - мажорирующий	ряд
∞			n=1
			n=1

2) ∑ an сходится. Тогда :
n=1
∞	( x) сходится равномерно на x
∑ fn	( x) сходится равномерно на x
n=1

Пример

∞

n ×sin nx

∑

- исследовать на равномерную сходимость

n3 +1

n=1

n ×sin nx

∞

= an ; "x Î R; ∑

cходится

n3 +1

n=1

функциональный ряд сходится равномерно на R

Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда,

составленного из непрерывных функций

Пусть

∞

1) ∑ fn ( x) сходится равномерно к f ( x) на X

n=1

2)n ; fn ( x) непрерывна на X

Тогда f ( x) непрерывна на X

Лекция 19

Теорема о равномерной сходимости степенного ряда

Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке лежащем

внутри интервала сходимости

Следствие

Сумма степенного ряда непрерывна на интервале сходимости

Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося

функционального ряда

∞

Пусть ∑ fn ( x) удовлетворяет условиям:

n=1

1)n fn ( x) − непрерывная функция на [a, b]

∞

2) ∑ fn ( x) cходится равномерно к f ( x) на [a, b]

n=1

[a, b]

x [a, b]

∞

(t )dt =

∞

∫

∑

∫

Тогда x

(t ) dt

n=1

n=1 x0

f (t ) dt =

∞

∫

∑

∫

или

(t ) dt

n=1

Следствие

Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости.

При этом радиус сходимости не меняется.

Теорема о почленном дифференцировании функции

∞

Пусть ∑ fn ( x) удовлетворяет условиям:

n=1

1)"n Î ; fn ( x) - непрерывная функция на [a, b]

	∞
2) ∑ fn¢( x) сходится равномерно к ϕ ( x) на [a, b]
	n=1
	$x0 Î[a, b];		∞
3)	$x0 Î[a, b];		∑ fn ( x0 )		сходится
			n=1
		∞	¢	∞		∞	¢
Тогда		∑ fn ( x)		= ∑ fn¢( x) или		∑ fn ( x) = ϕ ( x)
	n=1			n=1	n=1

Следствие

Степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри

интервала сходимости. При этом радиус сходимости не меняется.

Пример

∞

∑n=0

; Найти сумму степенного ряда

(n +1)(n + 2)

S =

- сумма бесконечной геометрической прогрессии

- q

∞

∑Сn × xn ; Cn

(n +1)(n

+ 2)

n=0

R = lim

= lim

(n + 2)(n + 3)

= 1- радиус сходимости

(n +1)(n + 2)

n→∞

Cn+1

n→∞

(-1;1) -

интервал сходимости

∞

x = 1;

∑n=0

- сходится по признаку сравнения

(n +1)(n + 2)

∞

(-1)

x = -1; ∑n=0

- cходится абсолютно

(n +1)(n + 2)

[-1;1] - область сходимости

∞

xn+2

∑n=0

× ∑n=0

(n +1)(n + 2)

(2) f ( x)

∞

xn+2

= ∑n=0

(n +1)(n + 2)

∞

n+2

∞

n+2

∞

n+1

(1) f ¢( x)

= ∑

n=0 n

n=0

(n +1)(n + 2)

n=0

(n +1)(n + 2)

∞

f ¢¢( x) = ∑ xn = 1+ x + x2 + x3 + ... =

- x

n=0

∫ f ¢¢(t ) dt = ∫

1- t

f ¢( x)

- f ¢(0) = - ln (1- x)

=0 из (1)

f ( x) - f (0)

= -∫ ln (1- t )dt = -t ×ln (1- t )

0x - ∫

dt =

1- t

= -x ×ln (1- x) + x

-1+

dt = (1- x)ln (1- x) + x

∫0

1- t

∞

n+2

1- x

ln (1- x); -1 < x < 0; 0 < x < 1;

∑

× ∑

(n +1)(n + 2)

n=0 (n +1)(n + 2)

n=0

x = 0 :

∞

(n + 2) − (n +1)

∞

x = 1: ∑

= ∑

(n +1)(n + 2)

= ∑

−

n=0 (n +1)(n + 2)

n=0

n=0 n +1

n + 2

= 1−

−

+ ... = 1

∞

(−1)

∞

x = −1: ∑

∑(−1)

−

(n +1)(n +

n + 2

n=0

= 1−

−

= 2 ln 2 −1

Ответ:

1− x

ln (1

− x), при

−1 < x < 0

0 < x < 1

∞

∑

при

x = 0

n=0 (n +1)(n

1 при x = 1
	−1	при x = −1
2 ln 2

Ряд Тейлора

Пусть f ( x) и имеет производные любого порядка в некоторой

окрестности точки x0

Определение

f ( x0 ) + f ¢( x0 )( x - x0 ) + f ¢¢( x0 ) ( x - x0 )2 +... + f (n) ( x0 ) ( x - x0 )n + ...

2! n!

называется ряд Тейлора функция f ( x) в окрестности точки x0

Если x0 = 0, то ряд Тейлора в этом сллучае называется рядом Маклорена :

f (0) + f ¢(0)× x + f ¢¢(0) × x2 +... + f (n) (0) × xn + ...

2! n!

Теорема

Если степенной ряд сходится равномерно, то он является

рядом Тейлора для своей суммы

Теорема

∞

( x − a)n

( x)

Пусть ∑Сn

сходится равномерно к f

n=0

f (n) (a)

Тогда C

Пример

−

f ( x) = e x2 ; x ¹ 0;

разложить в ряд Маклорена

0, x = 0

f (0 + Dx) - f (0)

−

f ¢(0) = lim

= lim

( x)2

= lim

= 0

×2t

x→0

t →0

1 = t ® 0

f ¢¢(0) = 0 (самостоятельно)

f (n) (0) = 0 (ММИ )

0 + 0 + 0 + ... - ряд Маклорена f ( x)

Теорема

Пусть для f ( x) в некоторой окрестности ( x0 - h; x0 + h)
$M = const "n Î :	f (n) ( x)	£ M ; "x Î( x - h; x + h)
$M = const "n Î :	f (n) ( x)	£ M ; "x Î( x - h; x + h)
					0		0
Тогда f ( x) = f (0) + f ¢(0)× x +			f ¢¢(0)	× x2	+ ... +	f	(n) (0)	× xn + ...; "x Î( x	- h; x + h)
Тогда f ( x) = f (0) + f ¢(0)× x +				× x2	+ ... +			× xn + ...; "x Î( x	- h; x + h)
			2!				n!	0	0
			2!				n!

Лекция 20

Ряд Маклорена для основных элементарных функций

f ( x) = f (0) + f ¢(0)× x +

f ¢¢(0)

× x2 +

... +

f (n)

(0)

× xn + ...

Радиус сходимости

R = lim

1) f ( x) = ex ;

n→∞

Cn+1

f (n) ( x) = ex ;

f (n) (0) = 1;

ex = 1+ x +

+ ... +

+ ...; x Î

2) f ( x) = chx =

ex + e− x

;

e− x = ex

= 1- x +

+ ... + (-1)n ×

+ ...; x Î

x2n

chx = 1+

+ ... +

+ ...; x Î

(2n)!

3) f ( x) = shx =

ex + e− x

x2n+1

shx = x +

+ ... +

+ ...; x Î

(2n +1)!

4) f ( x) = sin x;

π n

(n) (0)

= sin

π n

;

f (n) ( x) = sin x +

;

f (2k ) = sin π k = 0;

f (

2k +1)

= (-1)

= sin

+ π k

sin x = x -

+ ... + (-1)n ×

x2n+1

+ ...; x Î

(2n +1)!

cos x = 1-

+ ... + (-1)n ×

x2n

+ ...; x Î R

(2n)!

(1+ x)α =1+α × x +

α (α -1)

× x2 + ... +

α (α -1) ×...×(α - n +1)

× xn + ...

-1 < x <1

=1- t + t2 - t3 +... + (-1)n−1 ×t n−1 + ...

1+ t

ln (1+ x) = ∫

= x -

+ ... + (-1)n−1

+ ...

1+ t

-1 < x £ 1

= 1- t2 + t4 - t6 +... + (-1)n ×t2n +...

+ t 2

-... + (-1)n ×

2n+1

arctgx = ∫

= x -

+ ...

+ t

2n +1

-1 £ x £ 1

−

(2n -1)!!

(1- t 2 )

=1+ -

(-t2 )

+ ... +

×t2n + ...

1- t2

arcsin x = ∫

;

1+ t2

(2n -1)!!

arcsin x = x +

3!!

× x5 +... +

× x2n+1 +...

2!× 22 ×5

n!× 2n (2n +1)

∞

(2n -1)!!

arcsin x = x + ∑n=1

× x2n+1;

-1 < x < 1

(2n)!!(2n +1)

10) ln (1+ x) = x -

+ ... + (-1)n−1 ×

+...

ln (1- x) = -x -

-... -

-...

1+ x

x2n+1

2 x

+ ... +

... ; -1 < x < 1

1- x

3 5

y= 1+ x ; -1 < x <1 1- x

y = ( x -1) + 2 = -1- 2
1- x	x -1

y Î(0, +¥) при -1 < x < 1

Позволяет вычислить логарифм от любого положительного числа

Приложения ряда Тейлора

1) Приближённые вычисления

Применяя ряд Тейлора для приближённых вычислений берём конечное число ряда, то есть частичную сумму ряда.

При этом погрешность измерений равна остатку ряда.

∞

∑ an » a1 + ... + an

n =1

Rn = an +1 + an + 2 + ... - погрешность

Rn £ an +1

Можно оценивать погрешность по формуле Тейлора, записав остаток в каком - нибудь виде Пример1

10 1040 Вычислить с точностью 0, 0001

(1 + x )α

= 1 + α × x +

α (α -1)

× x2 + ... +

α (α -1) ×...× (α - n +1)

× xn + ..

10 1040 = 10 1024 +16 = 10 1024 ×

2 ×

= 2 ×

1 +

× -

+ ...

2! 10

10000

10 1040 »

2 ×

1 +

» 2, 0031

Пример 2

∫ e− x2 dx; c точностью 0, 001

= 1 + t +

t 2

t 3

+ ... +

t n

+ ...

∫

1 - x2 +

× x4 +

× x6 +

× x8 -

× x10

× x12

+ ...

= 1 -

+ ...

≤

1000

∫ e− x2 dx » 1 -

» 0, 7475 » 0, 748

216

2) Вычисление пределов

Пример 1

sin2 x - x2 ×cos2 x

1- cos 2x - x2 (1+ cos 2x)

lim

- ctg

= lim

×sin

x→0

(2x)

(x4 )

1-1+

- x2 1+1-

+ O

+ O (x

)

- 2x

+ 2x

= lim

2x4

x→0

Пример 2

earctgx -1- x -

lim

x→0

arctgx = x -

+ O (x3 )

arctgx = t

et = 1+ t +

+ ... = 1+ x -

x2 +

x3 + ...

2 6

3 2

earctgx -1- x -

1+ x +

x2 -

x3 -1- x -

x2 + O (x3 )

lim

= lim

= -

x→0

3) Решение Д.У. с помощью степенных рядов

y′′ = 2xy′ + 4 y; y (0) = 0; y′(0) = 1

1) Метод неопределённых коэффициентов

Ищем решение в виде ряда Маклорена

y ( x) = C + C x + C

+ C x3 + ... + C

xn + ...

C0 = y (0) = 0; C1 = y¢(0) = 1

4 ×

y ( x) = x + C

x2 + C x3

+ ... + C

+ ...

2x ×

y¢ = 1+ 2C

x + 3C x2 + 4C

+ ... + nC

xn−1 + ...

y¢¢ = 2C

+ 6C x +12C

x2 + 20C x3 + ... + n (n -1)C

xn−2

2C2 = 0 C2 = 0

6C3 = 4

+ 2 C3 = 1

12C4 = 4C2

+ 4C2 C4 = 0

20C5 = 4C3

+ 6C3

(n + 2)(n +1)Cn+2 = 4Cn + 2nCn

(n + 2)(n +1) Cn+2 = 2 (n + 2) Cn

Cn+2

C2k = 0;

C2k +3

+1)!

C2k +1 =

C2k −1

2 (k +1)

C2k +1

×C2k −1

С2k +3

(k +1)!

C2k −1

- гипотеза

k !

y = x + x3 +

x5 +

x7 +... +

× x2k +1 +...

k !

y = x 1+ x2 +

+ ... +

+ ...

k !

y = x ×ex2

2) Метод последовательного дифференцирования

y ( x) = y (0) + y¢(0) × x +

y¢¢(0)

× x2 + ... +

y(n) (

× xn + ...

y (0) = 0; y¢(0) = 1

y¢¢ = 2 ×0 × y¢(0) + 4 y (0) = 0

y¢¢¢( x) = (2xy¢ + 4 y )¢ = 2 y¢ + 4 y¢ + 2xy¢¢;

y¢¢¢(0) = 6

y(4) ( x) = 8 y¢¢ + 2xy¢¢¢;

y(4) ( x) = 0

y(5) ( x) = 10 y¢¢¢ + 2xy(4) ; y(5) (0) = 10 ×6 = 22 ×3×5

y(2k ) = 0

y(2k +1) (0) = 2k ×(2k +1)!!

C2k = 0

C2k +1 =

y(2k +1)

(0)

2k ×(2k +1)

(2k +

1)!

(2k +1)!

(2k )!!

(1× 2)(2

× 2)(2 ×3)...(2k )

k !

y = x + x3 +

x5 +

x7 + ... +

× x2k +1 + ... = x ×ex2

k !

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.04.2019169 Кб7Lektsii_po_filosofii_1.doc
#
27.03.201563 Кб89Lektsii_po_filosofii.docx
#
11.03.20162 Мб150Lektsii_po_GA_2sem.doc
#
21.12.20181 Мб7lektsii_po_informatike_1kurs.doc
#
03.05.2015824 Кб115Lektsii_po_KFP_13i_zadachi.docx
#
27.03.2015796 Кб13Lektsii_po_matanu.pdf
#
16.04.20192 Мб9Lektsii_po_nasosam.docx
#
01.04.2025316 Кб0lektsii_Startseva.docx
#
27.03.201546 Кб33lektsii.doc
#
27.03.2015122 Кб44Lektsii.doc
#
06.08.201990 Кб31Lektsii.docx