3.Выберите значения параметров, при которых собственные колебания затухают. Затем выберите с помощью флажка режим «Вынужденные колебания». Как изменяются годограф АФЧХ и графики АЧХ и ФЧХ (в том числе резонансная частота и значение АЧХ в резонансе) при изменении коэффициента трения? при изменении собственной частоты? Объясните наблюдаемые эффекты теоретически.

4.Сходятся ли экспериментальные значения АЧХ и ФЧХ к теоретическим с течением времени?

3.2.Динамический демпфер

3.2.1.Модель

Динамический демпфер – конструкция, предназначенная для ослабления (в идеале – подавления) нежелательных вибраций тела на упругом основании, возникающих при действии внешней гармонической силы на это тело (будем в дальнейшем называть его основным телом). Примером такого тела является автомобиль с рессорами, движущийся по дороге, на которой много рытвин, или станок, имеющий эксцентричные вращающиеся детали. Динамический демпфер представляет собой еще одно тело, упруго скрепленное с основным.

Физическая модель рассматриваемой системы состоит из основного тела массы M, соединенного с неподвижным основанием пружиной жесткости K (или несколькими пружинами общей жесткости K для повышения надежности скрепления), и демпфирующего тела (демпфера) массы m, скрепленного пружиной жесткости k с основным телом (рис. 3.2).

Пусть на основное тело действует комплексная внешняя гармоническая сила F0 eiνt ( F0 > 0 ). Пусть x – отклонение основно-

го тела от положения, в котором пружина K недеформирована, а y

– отклонение демпфера от положения, в котором пружина k недеформирована. Пусть в системе действует сила вязкого трения с коэффициентом h. Тогда математическая модель движений ос-

77

новного тела с демпфером представляет собой систему дифференциальных уравнений:

Будем искать вынужденные колебания системы (3.2) в виде: x = Aeiνt , y = Beiνt . Подставим эти функции в (3.3). После сокращения на eiνt имеем:

−M ν2 A = −KA − (hiν + k)(A − B) + F0 ,

−mν2 B = (hiν + k)(A − B),

откуда получаем:

Нас интересует вещественная амплитуда вынужденных колебаний основного тела:

A= F0 {[k(K −M ν2 ) −mν2 (K +k −M ν2 )]2 +

+h2ν2 [K −(M + m)ν2 ]2 }−1/ 2 [(k −mν2 )2 + h2ν2 ]1/ 2.

78

Отсюда следует, что величину A нельзя обратить в нуль за

счет подбора параметров демпфера (k и m) из-за наличия трения ( h ≠ 0 ). Следовательно, при наличии трения можно добиться

только некоторого положительного минимума A . Если трение

исчезающе мало, то выбор параметров из условия k / m = ν2 (настройка параметров демпфера в резонанс по отношению к внешнему воздействию при условии, что разность фаз колебаний демпфера и внешнего воздействия близка к π , т.е. к противофа-

зе) приведет к достаточно малой величине A , т.е. к очень малым вибрациям основного тела. В идеальном случае, когда трение отсутствует ( h = 0 ), можно выбрать k и m из условия k / m = ν2 и тогда формально будет A = 0 (колебания основного тела будут

подавлены полностью); но фактически при h = 0 нельзя гово-

рить о вынужденных колебаниях, так как переходный процесс не затухает и вынужденные колебания не устанавливаются.

Как и для одиночного осциллятора с внешним гармоническим воздействием, в системе с динамическим демпфером для основного тела можно ввести амплитудно-частотную характеристику

(АЧХ) как отношение A / F0 .

3.2.2. Реализация в AnyLogic

Работа реализована в файле Part2\Dynamic Damper.alp (рис. 3.3). В окне анимации можно наблюдать колеблющееся основное тело без динамического демпфера или с динамическим демпфером (демпфер подключается и отключается с помощью флажка «Подсоединить демпфер»). При этом внешняя гармоническая сила, действующая на основное тело, показана стрелкой, у которой меняются длина и направление (как и в работе «Динамика линейного осциллятора», см. п. 3.1.2).

79

Рис. 3.3

3.2.3. Задания для эксперимента

1. В режиме колебаний без динамического демпфера проследите за возможными видами собственных колебаний основного тела. Как изменяется АЧХ при изменении параметров основного тела и частоты внешнего воздействия?

80