8.7 Определение необходимого числа реализаций

для достижения заданной точности

Это случай, когда нет ограничений на вычисление ресурса.

Для обеспечения статистической устойчивости оценок результатов моделирования они вычисляются по большому количеству реализаций. Пусть в качестве оценки некоторого параметра а, который оценивается по результатам моделирования СВ x_i, выбирается некоторое x. В силу ряда случайных причин а и x будут отличаться друг от друга. Тогда неравенство a - x   называется точностью, а вероятность этого неравенства P{a - x } =  называется достоверностью.

I. Пусть цель моделирования - вычислить вероятность Р некоторого события А:

m

P= (8.26)

N

где m - количество появлений события А,

N - количество реализаций,

P - частота.

Теорема Лапласа (частный случай центральной предельной теоремы теории вероятности):

При достаточно больших N частоту m/N можно рассматривать как СВ, которая имеет распределение, близкое к нормальному, с мат. ожиданием Р и дисперсией, равной

P(1 - P)

N

Поэтому для каждого значения  можно выбрать из таблиц нормального распределения такую величину t_ ( t_ - квантиль нормального распределения), что точность  = t_D[m/N] (8.27).

P(1 - P)

² = t_²

N

P( 1 - P)

N = t_² (8.28) ²

(13.5) можно пользоваться, если мы имеем дело с оценкой вероятности.

II. Пусть результат моделирования - это оценка мат. ожидания и дисперсии:

Пусть СВ  имеет мат. ожидание а и дисперсию ² и в реализации с номером i принимает значения x_i. В качестве оценки мат.ожидания используется среднее значение, которое определяется следующим образом:

_N

x = 1/N  x_i (8.29)

ⁱ⁼¹

Теорема:

При больших N среднее арифметическое будет являться СВ, которая стремится к нормальному закону распределения с мат.ожиданием а и дисперсией ². Тогда точность :



 = t_ (8.30)

N

t_²²

N = (8.31)

²

Алгоритм выбора необходимого числа реализаций:

1. Задается N₀ в интервале от 50 до100 реализаций;

2. Используя имитационную модель, определяем Р;

3. Полученное Р подставляем в (8.28) и получаем N₁;

4. Сравниваем N_i-1 и N_i, если N_i-1 < N_i, то мы повторяем весь алгоритм, начиная с п.2.

Для вычисления оценки мат. ожидания и дисперсии используется тот же алгоритм, но в п.2 вычисляется оценка дисперсии и оценка мат.ожидания, а в п.3 N₁ вычисляется по формуле (8.31).

8.8. Особенности фиксации и статистической

обработки результатов моделирования

При имитационном моделировании необходимо предусмотреть меры по организации эффективной обработки данных и их представлении. При выборе метода обработки существенную роль играют следующие особенности:

1) при моделировании получают огромные выборки, которые количественно позволяют оценить характеристики процесса функционирования системы. При этом возникает проблема хранения промежуточных результатов моделирования. Она в основном решается за счет организации алгоритма т.о., чтобы оценки вычислялись в процессе моделирования;

2) априорно сделать какие-либо предположения о характеристиках процесса функционирования системы невозможно, поэтому в моделировании используются оценки моментов распределения;

3) блочность структуры модели, когда исходными данными для моделирования одного компонента являются результаты моделирования какого-либо другого компонента.

При построении алгоритма мы должны выдвигать к нему 2 критерия ( с вычислительной точки зрения):

1) используемая память должна быть минимальна;

2) время вычисления должно быть минимально.

I. Пусть в качестве искомой величины фигурирует вероятность наступления некоторого события А. В качестве оценки вероятности используется частота:

m

P(A) = (8.32)

N

где m - число появлений события А,

N - число реализаций.

II. Пусть в результате моделирования необходимо оценить закон распределения. Для этого область значений СВ  разбивается на k интервалов, и для каждого i-го интервала определяется либо m_i (количество значений СВ, попавших в i-ый интервал), либо определяется P_i (частота):

P_i = m_i /N (8.33)

III. Если результат моделирования - это мат.ожидание. Оценкой мат.ожидания является среднее значение:

_N

y = 1/N  y_i (8.34)

ⁱ⁼¹

IV. В качестве результата моделирования - дисперсия.

_N

D = 1/N  (y_i - y )² (8.35)

ⁱ⁼¹

_{N N}

D_y = 1/(N - 1)  y_i² - 1/[N(N - 1)] (  y_i )² (8.36)

^{i=1 i=1}

V. Если оценка - корреляционный момент между последовательностью СВ, принимающих значения X и Y.

_N

K_ = 1/N  (y_i - y)(x_i - x) (8.37)

ⁱ⁼¹

_{N N N}

K_ = 1/(N - 1)  y_i x_i - 1/[N(N - 1)]  y_i  x_i (8.38)

^{i=1 i=1 i=1}