4.1.4. Сплайн-интерполяция

Функция одной переменной S(x), заданная на отрезке [a, b], называется сплайном порядка p, если она:

1. На каждом из частичных отрезков , i = 0, 1, …, n-1 заданной степени , то есть может быть записана как .

2. р-1 раз непрерывно дифференцируема на [a, b]. При сплайн-интерполяции интерполируемая функция представляется набором полиномов первой, второй или третьей степени соответственно – своим для каждого из внутренних подотрезков .

Для реализации одномерной и двумерной сплайн-интерполяции в пакете Mathcad имеются следующие функции:

• interp(vs,Mx,My,x) – возвращает значение, найденное сплайн-интерполяцией для заданных параметров vs, Mx, My и x, где Mx и My − матрицы входных данных; vs − выходной вектор функций cspline, pspline или lspline; x − вектор размерности n1.

• cspline(Mx,My) – возвращает вектор вторых производных (первый из аргументов в функции interp(vs,Mx,My,x)) по исходным данным Mx (матрица размерности n1 или n2) и My (матрица размерности n1 или nn) для кубичного сплайна.

• pspline(Mx,My) - возвращает вектор вторых производных (первый из аргументов в функции interp(vs,Mx,My,x)) по исходным данным Mx (матрица размерности n1 или n2) и My (матрица размерности n1 или nn) для параболического сплайна.

• lspline(Mx,My) - возвращает вектор вторых производных (первый из аргументов в функции interp(vs,Mx,My,x)) по исходным данным Mx (матрица размерности n1 или n2) и My (матрица размерности n*1 или n*n) для линейного сплайна.

На рис. 4.2 для случая функции одной независимой переменной f(x) показана программа для Mathcad, реализующая кубическую сплайн-интерполяцию, а на рис. 4.3 − соответствующая программа для Mathcad, реализующая кубическую сплайн-интерполяцию для функции двух переменных.

Задаём исходные данные.

Размерность векторов X и f должна быть одинаковой.

Формируем интерполяционный

полином и строим его график

Формируем вектор вторых

производных кубического сплайна

Рис. 4.2. Реализация кубической сплайн-интерполяция функции

одной переменной в пакете Mathcad

4.2. Порядок выполнения работы

1. Выполнить одномерную интерполяцию одной из средних ветвей предложенной преподавателем выходной статической ВАХ с использованием формулы Лагранжа и построить соответствующий график.

Примечание. При построении графиков рекомендуется для уменьшения времени счета предварительно задавать диапазон и шаг изменения переменной по оси абсцисс, а также, при наличии волнистости, использовать по оси ординат логарифмическую шкалу.

Рис. 4.3. Реализация кубической сплайн-интерполяция функции

двух переменных в пакете Mathcad

2. Выяснить, имеет ли место явление волнистости при выполнении интерполяции, и найти значение из диапазона входных данных, при которых оно проявляется больше всего. Скорректировать исходные данные, добавив в исходные данные узел из области с наибольшим уровнем волнистости и вновь выполнить п.1.

3. Выполнить одномерную сплайн-интерполяцию (линейную, квадратичную и кубическую) одной из ветвей выходной ВАХ. Сделать сравнительные выводы по результатам пп. 1, 2 и 3. Указать, какая из трех одномерных сплайн-интерполяций (линейная, квадратичная или кубическая) менее всего отличается от интерполируемой зависимости.

4. Выполнить двумерную сплайн-интерполяцию (линейную, квадратичную и кубическую) для выходной ВАХ. Сделать сравнительные выводы по результатам двумерной сплайн-интерполяции.

5. Аналогично п.4, выполнить последовательную двумерную сплайн-интерполяцию для входной ВАХ. При выполнении этого пункта проще и разумнее интерполировать не зависимость Ib(Uce, Ube), а зависимость Ube(Uce, Ib).