Методическое пособие "Колебания.Волны"3803

гистрируемая приемником , связана с частотой колебаний в источнике 0 (эффект Доплера):

c

0 c u ,

где u – скорость приемника, υ – скорость источника волн. Величины u, υ – алгебраические: u > 0, если источник движется к приемнику; u < 0, если источник движется от приемника; υ > 0, если приемник движется к источнику; υ < 0, если приемник движется от источника.

Оптика

1. Оптическая длина пути светового луча в однородной среде с показателем преломления n:

L = ns,

где n – показатель преломления среды.

2. Оптическая разность хода лучей света:

L2 L1 n2s2 n1s1 .

3. Результат интерференции двух когерентных лучей света определяется величиной оптической разности хода:

m 0

2

при m четном – максимум, при m нечетном – минимум интерференции, где 0 – длина волны света в вакууме, m = 0, 1, 2, 3,…

4. Оптическая разность хода световых лучей, отраженных от двух поверхностей тонкой пластинки, по обе стороны которой находятся одинаковые среды:

где h – толщина пластинки, i – угол падения луча света на поверхность пластинки.

5. Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете:

6. Радиус зон Френеля для сферической поверхности световой волны, испускаемой точечным источником света:

где a – расстояние от источника до волновой поверхности, b – расстояние от волновой поверхности до экрана.

7. При дифракции в параллельных лучах монохроматического света от плоской щели положение минимумов освещенности на экране определяется углом дифракции φ:

где b – ширина щели.

8. При нормальном падении света на дифракционную решетку положение главных максимумов определяется углом дифракции φ:

где d – период дифракционной решетки.

9. Разрешающая сила дифракционной решетки:

R mN ,

где δλ – наименьшая разность длин волн двух близких спектральных линий, воспринимаемых при наблюдении раздельно; m – порядок спектра; N – общее число щелей дифракционной решетки.

10. Разрешающая сила объектива оптического прибора:

где δφ – наименьшее угловое расстояние между двумя точками, воспринимаемыми при наблюдении раздельно; D – диаметр объектива.

11. Угол полной поляризации при отражении света от границы двух диэлектриков (угол Брюстера):

где n21 – относительный показатель преломления.

12

12. Интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через систему двух поляроидов (закон Малюса):

где I2 – интенсивность света, прошедшего через анализатор; I1 – ин-

тенсивность света, прошедшего через поляризатор; φ – угол между оптическими осями поляроидов.

13. Степень поляризации света:

где Imax , Imin – максимальная и минимальная интенсивности света,

соответствующие двум взаимно-перпендикулярным направлениям колебаний в световой волне.

13

II. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Физический маятник в виде однородного стержня длиной L = 1 м колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через один из концов стержня. Найти период колебаний.

Решение. Период колебаний физического маятника:

J

T 2 mgl .

Поскольку стержень однородный, то расстояние от центра масс стержня до оси колебаний l L / 2 . Момент инерции определяем по теореме Штейнера:

Тогда период колебаний маятника:

Пример 2. Груз массы m = 0,5 кг, подвешенный на пружине жесткостью k = 32 Н/м, совершает затухающие колебания. После N = 10 колебаний амплитуда уменьшилась в 2 раза. Определить период колебаний, логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы.

Решение. Период колебаний для затухающих колебаний:

Коэффициент затухания β находим из определения логарифмического декремента затухания θ = βТ:

ln 2

Следовательно декремент затухания 0.069 . Добротность ко-

N

Пример 3. В цепь переменного тока с напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно индуктивность L = 0,8 мГн и электроемкость

С = 10 мкФ. Общее сопротивление цепи R = 20 Ом. Найти силу тока в цепи, напряжение на всех элементах цепи и мощность, выделяющуюся в цепи.

Решение. Условия задачи соответствуют действию промышленного переменного тока с действующим (эффективным) напряжением Uэфф =

= 220 В. Определим сопротивление элементов цепи. Емкостное сопротивление:

Индуктивное сопротивление:

X L L 2 L 251 Ом.

15

Комплексное сопротивление всей цепи:

Действующее значение силы тока в цепи определятся законом Ома:

Заметим, сумма всех напряжений на элементах цепи значительно больше величины действующего напряжения, что возможно только в цепях переменного тока. Для определения мощности, выделяющейся в цепи, необходимо найти сдвиг фазы между колебаниями тока и напря-

Пример 4. Определить частоту основного тона звуковой волны, образующейся при колебаниях воздуха в органной трубе длиной l = 1 м в двух случаях: а) труба закрыта с обоих концов; б) труба открыта

с одного конца. Температура воздуха T 17 C .

Решение. Частота колебаний столба воздуха в трубе определяется числом стоячих волн. Для закрытой трубы l m ст (m 1, 2, 3,...) :

2m 1 c .

2l

16

Основной тон колебаний соответствует минимальной частоте, т. е. в обоих случаях m = 1. Скорость звука согласно условию задачи:

Для закрытой трубы:

c

2l

170,5 Гц.

Для трубы, открытой с одного конца:

c

4l

85,3 Гц.

Пример 5. На расстоянии r1 = 10 м интенсивность звуковой волны в воздухе, распространяющейся от точечного источника, L1 = 40 дБ.

Найти наибольшее расстояние, на котором звук еще слышен.

Решение. Поскольку источник звука точечный, фронт звуковой волны сферический. Значит, интенсивность волны убывает с расстоянием по закону

I

N

4 r2

Соответственно уровень интенсивности звуковой волны:

Следовательно, искомое расстояние в соответствии с условием задачи:

пластинками, если в отраженном свете на длине l = 1 см наблюдается N = 20 интерференционных полос.

Решение. В данном случае интерференция наблюдается между лучами, отраженными от нижней поверхности первой пластинки и от верхней поверхности нижней пластинки. Оптическая разность хода в точке, где толщина воздушного зазора h равна:

2h 2 .

Дополнительная разность / 2 возникает при отражении луча света от поверхности 2 (при отражении от более плотной среды происходит сдвиг фазы колебаний в отраженной волне на π). Для определенности предположим, что наблюдаются темные полосы. Тогда в соответствии с условием минимума интерференции:

2h 2 2m 1 2 m 0, 1, 2, 3,... .

Следовательно,

h m 1 2 .

Угол при вершине воздушного клина малый, тогда:

Пример 7. Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2 мкм, если угол между максимумами первого и второго порядков

спектра 15 .

18

Решение. Для углов дифракции первого и второго порядков из формулы, определяющей положение максимумов дифракционной решетки, следует

Пример 8. При нормальном падении света на дифракционную решетку ширины l = 1 см установлено, что две желтые линии натрия

ная с пятого порядка спектра.

Определить период дифракционной решетки.

Решение. Разрешающая способность дифракционной решетки:

Из последнего равенства легко получить

Пример 9. На пути частично поляризованного пучка света установлен поляризатор (николь). При повороте поляризатора на угол

60 из положения, соответствующего максимальному пропуска-

19

нию света, интенсивность прошедшего света уменьшилась в k = 4 раза. Определить степень поляризации падающего света.

Решение. Частично поляризованный свет представляет собой суперпозицию естественного и плоско-поляризованного света. Николь пропускает половину падающего на него естественного света, превращая его в плоскополяризованный. Степень пропускания плоскополяризованного света, падающего на николь, определяется законом Малюса и зависит от угла между оптическими осями поляризатора и анализатора. Тогда полная интенсивность света, прошедшего через николь:

I 0,5Iест Iпол cos2 ,

где Iест , Iпол – интенсивности естественной и поляризованной состав-

ляющих света, падающего на николь. Тогда максимальная и минимальная интенсивности света, входящие в определение степени поляризации P, могут быть определены так:

Imax 0,5Iест Iпол , Imin 0,5Iест .

И, наконец, можно определить степень поляризации света:

20