10. Поверхности уровня. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть в плоскости (х, у, z) имеется область D, в которой задана функция
и = и(х, у, z).
В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле. Если, например, и(х, у, z) обозначает температуру в точке М(х, у, z), то говорят, что задано скалярное поле температур; если область D заполнена жидкостью или газом и и(х, у, z) обозначает давление, то имеется скалярное поле давлений и т.д.
Рассмотрим точки области D, в которых функция и(х, у, z) имеет постоянное значение с:
и(х, у, z) = с.
Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение с, то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.
Пример
33. Пусть
задано скалярное поле
.
Здесь
поверхностями уровня будут поверхности
,
т.е. эллипсоиды с полуосями
,
,
.
Если функция и есть функция двух переменных х и у:
и = и(х, у),
то «поверхностями» уровня будут линии на плоскости Оху:
и(х, у) = с,
которые называются линиями уровня.
Если значения и мы будем откладывать по оси Оz:
z = и(х, у),
то линиями уровня на плоскости Оху будут проекции линий, которые получаются в пересечении поверхности z = и(х, у) с плоскостями z = с. Зная линии уровня, легко исследовать характер поверхности z = и(х, у).
Пример 34. Определить линии уровня функции z = 1 – х2 – у2.
Линиями
уровня будут линии с уравнениями 1 – х2
– у2
= с.
Это окружности с радиусом
.
В частности, прис
= 0 получается окружность х2
+ у2
= 1.
Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, содержащая в себе касательные ко всем кривым, проведенным на поверхности через точку М.
Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через М перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.
Если
поверхность задана уравнением F(x,
y,
z)
= 0 и в точке М(х0,
у0,
z0)
частные производные
,
,
конечны и не обращаются в нуль одновременно,
то уравнениекасательной
плоскости
к поверхности в точки М(х0,
у0,
z0)
записывается в виде
,
а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде
.
Если
же уравнение поверхности задано явным
образом: z
= f(х,
у),
где частные производные
и
в точкеМ(х0,
у0,
z0)
конечны (и могут быть равны нулю
одновременно), то уравнение касательной
плоскости в точке М
записывается в виде
,
а уравнение нормали – в виде
.
Равенство
нулю, например
,
означает, что касательная плоскость
параллельна осиОх,
а нормаль лежит в плоскости х
= х0.
Пример
35. Дана
поверхность
.
Составить уравнение касательной
плоскости и уравнения нормали к
поверхности в точкеМ(1,
1, 1).
Найдем
частные производные
и
и их значения в точкеМ(1,
1, 1):
,
.
Уравнение касательной плоскости:
,
или x
– 2y
+ z
= 0.
Уравнение нормали:
(х – 1)/(-1) = (у – 1)/2 = (z – 1)/(-1).
Пример 36. К поверхности х2 + 2у2 + 3z2 = 11 провести касательные плоскости, параллельные плоскости х + у + z = 1.
Здесь
F(x,
y,
z)
= х2
+ 2у2
+ 3z2
– 11. Найдем частные производные:
,
,
.
Из условия параллельности касательной
плоскости и данной плоскости следует,
что (F/x)/1
= (F/y)/1
= (F/z)/1,
или (2х)/1
= (4у)/1
= (6z)/1.
Присоединив к этим уравнениям уравнение
поверхности х2
+ 2у2
+ 3z2
= 11, найдем координаты точек касания:
и
.
Следовательно, уравнения касательных
плоскостей имеют вид
,
т.е.
и
.
Задание для самостоятельной работы
96.
Найти линии уровня функции
.
97.
Найти линии уровня функции
.
98.
Найти линии уровня функции
.
99.
Написать уравнение касательной плоскости
и нормали к поверхности
в точкеM(1;
2;
5).
100.
Написать уравнение касательной плоскости
и нормали к поверхности
в точкеM(4;
3; 4).
101.
Написать уравнение касательной плоскости
и нормали к поверхности
в
точкеM(R
cos ;
R
sin ;
R).
102.
К поверхности
провести касательные плоскости,
параллельные плоскости
.
103.
К эллипсоиду
провести касательные плоскости,
отсекающие на положительных координатных
полуосях равные по величине отрезки.
104.
К поверхности
провести касательную плоскость,
проходящую через точкуM(0;
0; 1)
, параллельно прямой
.
105.
На поверхности
найти точки, в которых касательные
плоскости параллельны координатным
плоскостям.