Порядок выполнения задания:
Записать служебное слово Given.
Ввести систему уравнений.
Вывести решение с помощью функции Find.
Задание 2.5. Решить систему линейных уравнений методом простых итераций.
Вариант 1
A
=
,
B =
Вариант 2
A =
,
B =
Вариант 3
A =
,
B =
Вариант 4
A =
,
B =
Вариант 5
A =
,
B =
Вариант 6
A
=
,
B =
Вариант 7
A =
,
B =
Вариант 8
A =
,
B =
Вариант 9
A =
,
B =
Вариант 10
A =
,
B =
Вариант 11
A
=
,B
=
Вариант 12
A
=
,B
=
Порядок выполнения задания:
Преобразуйте исходную систему Сх=d к виду х=B+Ах.
Проверьте достаточное условие сходимости.
Введите матрицы А и B.
Определите нулевое (начальное) приближение решения.
Задайте количество итераций.
Введите формулу вычисления последовательных приближений решения и вычислите их.
Выведите на экран матрицу приближенных решений.
Решение нелинейных уравнений
Алгоритм нахождения корней нелинейного уравнения с помощью итерационных методов состоит из 2 этапов: отыскания приближенного значения корня или содержащего его отрезка и уточнения приближенного значения до некоторой заданной степени точности.
Уточнение приближенного значения возможно несколькими методами.
Метод деления отрезка пополам
Пусть дано нелинейное уравнение f(x) = 0, где f – непрерывная на [a,b] функция и выполняется условие f(a) * f(b) < 0. Разделим отрезок пополам точкой c = (a+b)/2. Если f(a) * f(c) < 0, то корень лежит на отрезке [a,c], если f(c) * f(b) < 0, то на [c,b]. В первом случае значение с обозначим через b, во втором – через а. В результате выполнения одного шага метода мы вновь пришли к [a,b], содержащему искомый корень уравнения. Для получения величины корня с заданной точностью вычислительный процесс следует продолжать до тех пор, пока получаемые последовательные приближения корня не совпадут в пределах заданной точности.
Метод хорд
При решении уравнения методом хорд отрезок [a,b], которому принадлежит корень уравнения, делится не пополам, а в отношении, пропорциональном отношению абсолютных величин значений функции на концах отрезка. Геометрически это означает, что очередное приближение корня уравнения с – это точка пересечения с осью OX хорды, проходящей через крайние точки дуги кривой f(x):
.
(5)
Метод касательных
Пусть на [a,b] функция f меняет знак, но сохраняет знаки своих первой и второй производных. В качестве нулевого приближения корня уравнения x0 выбирается тот из концов отрезка [a,b], которому отвечает значение функции f(x0) того же знака, что и знак второй производной f'''(x0). Проведем касательную к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)) и точку пересечения ее с осью OX возьмем в качестве первого приближения:
(6)
Очередные приближения можно найти аналогично:
;
n=0,
1, 2… (7)
Метод простой итерации
Для использования данного метода уравнение записывается в виде:
x = f(x). (8)
Подставляя начальное приближение в правую часть уравнения, получаем новое приближение:
cn+1 = f(cn)n = 1, 2, … (9)
Достаточное условие сходимости f '(cn) < 1.
Для решения нелинейных уравнений в системе MathCad существуют встроенные функции, приведенные в приложении .
При использовании функции root, необходимо задать начальное приближение корня. Для отыскания корней полинома можно использовать функцию polyroot, задав перед этим вектор коэффициентов.
Задание 3.1. Найти все корни уравнения (таблица 1).
Таблица 1 – Задания для расчетов
|
Вариант |
Уравнение |
Вариант |
Уравнение |
|
1 |
X3 - 2X - 0.3 = 0 |
7 |
X3 - X2 + 2X - 8 = 0 |
|
2 |
X3 + X2 + X - 3 = 0 |
8 |
X3 + 0.7X2 + 4.7X – 1.5 = 0 |
|
3 |
X3 + 3X2 + 3X + 2 = 0 |
9 |
X3 + 3.5X2 + 11.5X + 5 = 0 |
|
4 |
X3 + 0.5X2 + 0.5X - 3 = 0 |
10 |
X2 – 2 = 0 |
|
5 |
X3 + 1.4X2 + 3.8X - 3 = 0 |
11 |
X4 - X3 - 2X2 + 3X - 3 = 0 |
|
6 |
X3 + 2.9X2 + 5.6X - 11 = 0 |
12 |
X3 – 0.2X2 + 0.5X + 1.5 = 0 |