metods_books_fnp2011

Задача 5. Найти производную dy от неявной функции, заданной dx

уравнением ln(x2 tg y) ey 1.

Задача 6. Найти частные производные z , z от неявной функ-

x y

ции, заданной уравнением

z2 z 8xz 2x2 2y2 8 0.

Задача 7. Вычислить производные сложной функции:

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности z x2 y 1 2 в точке M0 1, 0, 1 .

Задача 9. Найти направление наиболее быстрого возрастания функции z tg xy в точке A 0, 1 . Какова скорость изменения

функции в этом направлении?

Задача 10. Исследовать функцию z 3x2 x3 3y2 4y 2 на экстремум.

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 xy 2 в заданной области: y 4x2 4, y 0.

Вариант 8

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область опреде-

ления функции z ln(x2 y) . y x

41

Задача 3. Найти полный дифференциал функции

z etg x cos3y .

Задача 4. Вычислить 6,03 2 8,04 2 приближенно с помощью полного дифференциала.

Задача 5. Найти производную dy от неявной функции, заданной dx

уравнением

x2 y2 arctg xy 0.

Задача 6. Найти частные производные z , z от неявной функ-

x y

ции, заданной уравнением

yz2 xz xy 1.

Задача 7. Вычислить производную сложной функции:

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности 2x2 3y2 4z2 x2 y y3 3z3 4 0 в точке

M0 1, 1, 1 .

42

Задача 9. Найти производную функции z 12 (x2 y) в точке

A 1, 1 по направлению к точке B 2, 2 .

Задача 10. Исследовать функцию z x3 3y2 12x 6y 2 на экстремум.

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 3y2 x y в ограниченной замкнутой области, ограниченной линиями: x 0, y 0 , x y 1.

Вариант 9

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область опреде-

Задача 4. Вычислить 3,001 2 31,002 приближенно с помощью полного дифференциала.

Задача 5. Найти производную dy от неявной функции, заданной dx

уравнением x cos y sin y x 0 .

43

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности z x 1 2 y 1 в точке M0 0, 1, 2 .

Задача 9. Найти направление наиболее быстрого возрастания

функции z x 2 y в точке A 2, 0 . Каково значение скорости x

изменения функции в этом направлении?

Вариант 10

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область определения функции

z 1x (x2 y2 1)(4 x2 y2 ) .

44

z ln x y2 .

x

Задача 3. Найти полный дифференциал функции z 2 y x tg y .

Задача 4. Вычислить ln (0,09)3 (0,99)3 приближенно с по-

мощью полного дифференциала.

Задача 5. Найти производную dy от неявной функции, заданной dx

уравнением

2x exy y ex x2 0.

Задача 6. Найти частные производные z , z от неявной функ-

x y

ции, заданной уравнением

x2 y2 z2 3xyz xy2z3 .

Задача 7. Вычислить производную сложной функции:

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности z2 x2 2xyz 2 0 в точке M0 1, 0, 1 .

Задача 9. Найти производную функции z 12 ln(1 x2 y2) в

точке A 1, 1 по направлению к точке B 1, 0 .

45

Задача 10. Исследовать функцию z 2x3 2y3 36xy 4 на экстремум.

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 2y2 4xy 6x 1 в ограниченной замкнутой области, ограниченной линиями: x 0, y 0 , x y 3.

Вариант 11

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область опреде-

Задача 5. Найти производную dy от неявной функции, заданной dx

уравнением y2 32x x2 32y 0.

Задача 6. Найти частные производные z , z от неявной функ-

x y

ции, заданной уравнением

x2 2y2 3z2 xy z sin xy 9 0.

46

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности z x2 y3 x2 2y в точке M0 1, 1, 0 .

Задача 9. Найти направление наиболее быстрого возрастания функции z cos x cos y в точке A 1, 0 . Какова скорость изме-

нения функции в этом направлении?

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z 5x2 xy y2 4x в ограниченной замкнутой области, ограниченной линиями: x 1, y 1, x y 1 0.

Вариант 12

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область опреде-

Задача 4. Вычислить 2,009 3 2,007 2 приближенно с помощью полного дифференциала.

47

Задача 5. Найти производную dy от неявной функции, заданной dx

уравнением

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости

Вариант 13

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область опреде-

48

z ln cos xy .

Задача 3. Найти полный дифференциал функции

z ln x ctg xy .

ции, заданной уравнением

z3 5xy3 4yz2 x3 6 0.

Задача 7. Вычислить производные сложной функции:

Задача 8. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности z x2 y2 2xy в точке M0 1, 1, 4 .

49

Задача 9. Найти направление наиболее быстрого возрастания функции z yx2 в точке A 1, 1 . Какова скорость изменения

функции в этом направлении?

Задача 10. Исследовать функцию z 8x3 y3 6xy 5 на экстремум.

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 xy 2y2 3x 2y 1 в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой x y 5 0.

Вариант 14

Задача 1. Найти и изобразить на плоскости Oxy область определения функции

z x2 y2 2x 4 x2 y2 .

z arccos ln xy .

Задача 3. Найти полный дифференциал функции z arctg y .

1 x2

Задача 4. Вычислить 2,03 2 5e0,02 приближенно с помощью полного дифференциала.

Задача 5. Найти производную dy от неявной функции, заданной dx

уравнением x y arctg y 0.

50