2.5. Уточнение максимального значения функции отклика с помощью плана второго порядка

Функцию отклика в области оптимума аппроксимируем полиномом второй степени вида

Для оценки всех коэффициентов полинома второй степени необходимо, чтобы в плане эксперимента каждый фактор принимал не менее трех значений. Применение планов 3^k связано с большим числом опытов. Более рациональным является центральное композиционное планирование.

Центральный композиционный план второго порядка получают достройкой некоторого количества точек к «ядру», образованному линейным планом. При числе факторов k менее пяти за «ядро» центрального композиционного плана обычно принимают план полного факторного эксперимента типа 2^k. Если число факторов более пяти, то за ядро принимают полуреплику от полного факторного эксперимента типа 2^k. Такой выбор обусловлен тем, что от «ядра» плана требуется раздельная оценка всех линейных эффектов и парных эффектов взаимодействия. Для двух факторов центральный композиционный план второго порядка может быть представлен следующей схемой (рис.2.2).

Рисунок 2.2. Композиционный план второго порядка для k = 2. Точки 1–4 образуют полный факторный эксперимент порядка 2², точка 9 – центр плана, точки 5–8 – звездные точки с координатами (±α,0) и (0,±α).

Величина звездного плеча принимается в зависимости от числа независимых переменных. При наличии двух факторов α=1. В табл. 2.5 приведена матрица центрального композиционного плана второго порядка для двух факторов.

Таблица 2.5

Матрица центрального композиционного плана второго порядка для двух факторов

Содержание плана	Номер опыта	Х0	Х1	Х2	Х1 Х2	Х12	Х22	Y
План типа 22	1	+	+	+	+	+	+	Y1
	2	+	-	+	-	+	+	Y2
	3	+	+	-	-	+	+	Y3
	4	+	-	-	+	+	+	Y4
Звездные точки	5	+	+α	0	0	α2	0	Y5
	6	+	-α	0	0	α2	0	Y6
	7	+	0	+α	0	0	α2	Y7
	8	+	0	-α	0	0	α2	Y8
Нулевая точка	9	+	0	0	0	0	0	Y9

Приведенная матрица не обладает ортогональностью, что затрудняет вычисление коэффициентов уравнения регрессии. В связи с этим переходим к новой переменной

Кроме этого ортогонализация достигается выбором звездного плеча α. При числе переменных равном двум α=1.

Ортогональный центральны й композиционный план второго порядка для двух факторов приведен в табл. 2.6.

Таблица 2.6.

Ортогональный центральный композиционный план второго порядка для двух факторов

Содержание плана	Номер опыта	Х0	Х1	Х2	Х1 Х2	Х12-2/3	Х22-2/3	Y
План типа 22	1	+	+	+	+	+1/3	+1/3	Y1
	2	+	-	+	-	+1/3	+1/3	Y2
	3	+	+	-	-	+1/3	+1/3	Y3
	4	+	-	-	+	+1/3	+1/3	Y4
Звездные точки	5	+	+	0	0	+1/3	-2/3	Y5
	6	+	-	0	0	+1/3	-2/3	Y6
	7	+	0	+	0	-2/3	+1/3	Y7
	8	+	0	-	0	-2/3	+1/3	Y8
Нулевая точка	9	+	0	0	0	-2/3	-2/3	Y9

Реализация опытов по матрице планирования с преобразованной квадратичной переменной позволяет построить модель вида

Рассмотрим подобласть факторного пространства, примыкающую к точке предполагаемого максимума, уменьшив интервалы варьирования факторов в два раза, по сравнению с интервалами, принятыми в первой серии опытов. Координаты нулевой точки по Х₁ (2,3+0,075/2)= 2,34, а по Х₂ (4,2-0,09/2)= 4,15.

Параметры рассматриваемой подобласти приведены в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Параметры подобласти

Значения факторов
Основной уровень	2,3375	4,155
Интервал варьирования	0,0375	0,045
Верхний уровень	2,375	4,2
Нижний уровень	2,3	4,11

Для определения дисперсии Y и величины ошибки (среднеквадратического отклонения) проведем серию численных опытов при значениях факторов, соответствующих нулевому уровню. Результаты трех численных экспериментов в этой точке следующие:

Y₁= 51,88; Y₂=52,09; Y₃=52,23; Y_ср= 52,07;

Полученные результаты показывают, что величина дисперсии в новой нулевой точке точно такая же, как при в первой серии опытов по определению градиента, что соответствует условиям планирования эксперимента. Значения функции отклика Y меньше максимального значения, полученного в крайней верхней левой точке области факторного пространства. Это подтверждает гипотезу о предполагаемом максимуме.

В табл. 2.8 приведены результаты численного эксперимента в соответствии с принятой матрицей планирования (табл. 2.6).

Таблица 2.8.

Результаты численного эксперимента

Содержание плана	Номер опыта	Х1	Х2	Y
План типа 22	1	2,375	4,2	52,46
	2	2,3	4,2	53,38
	3	2,375	4,11	51,06
	4	2,3	4,11	51,95
Звездные точки	5	2,375	4,155	51,74
	6	2,3	4,155	52,58
	7	2,3375	4,2	52,86
	8	2,3375	4,11	51,58
Нулевая точка	9	2,3375	4,155	52,27

Из табл. 2.8 следует, что и в данной серии опытов максимальное значение функции отклика имеет место в верхней левой точке факторного пространства.

По результатам эксперимента находим значения коэффициентов по формуле:

где i - номер столбца матрицы, j – номер опыта, - элементы соответствующего столбца матрицы, - значение параметра оптимизации j-том опыте.

Для модели

и двух факторов

Преобразованный полином имеет вид

Чтобы перейти к обычной форме записи полинома, находим величину В₀ по выражению

Примечание: находится по табл. 2.5 при α=1.

Полином в обычной форме записи имеет вид

Определим дисперсии коэффициентов уравнения регрессии по формуле

где - дисперсия исследуемого процесса

- сумма квадратов соответствующих столбцов матрицы планирования.

Дисперсия коэффициента

Проводим анализ адекватности по критерию Фишера F.

Оценку дисперсии адекватности в случае отсутствия дублирования опытов производим по формуле

где - расчетное значение Y, вычисленное по полученному уравнению регрессии при подстановке в него опытных данных значений Х_j; k – количество коэффициентов в уравнении регрессии; - число степеней свободы.

В рассматриваемом случае . Расчет приведен в табл. 2.9.

Таблица 2.9.

Расчет

№ опыта	Х1	Х2
1	+1	+1	52,43	52,46	0,0009
2	-1	+1	53,33	53,38	0,0025
3	+1	-1	51,07	51,06	0,0001
4	-1	-1	51,94	51,95	0,0001
5	+1	0	51,74	51,74	0
6	-1	0	52,63	52,58	0,0025
7	0	+1	52,89	52,86	0,0009
8	0	-1	51,52	51,58	0,0036
9	0	0	52,2	52,27	0,005
Сумма	-	-	-	-	0,0156

Так как ,

Табличное значение F_Т при (для большей дисперсии ) , (для меньшей дисперсии ) и уровне значимости 0,05 равно 9,55. То есть , что свидетельствует о том, что принятая модель адекватна.

Доверительные интервалы для коэффициентов

Здесь t=4,3 – квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы , с которыми определялась дисперсия для вероятности 0,95, равной выбранному уровню значимости 0,05.

Из приведенного расчета следует, что все линейные коэффициенты статистически значимы. Коэффициенты В₁₂, В₁₁, В₂₂ меньше доверительного интервала (т.е. могут быть равны 0) и следовательно не являются статистически значимыми. Малые значения коэффициентов могут быть обусловлены:

В₁₂ – вероятным отсутствием взаимодействия между факторами;

В₁₁, В₂₂ – вероятным отсутствием кривизны поверхности или невозможностью ее проявления при выбранных интервалах варьирования.

Из полученной модели следует, что поверхность, отображаемая функцией отклика, близка к плоской, так как коэффициенты при квадратичных членах полинома близки к нулю. Кроме этого, это обстоятельство свидетельствует о том, что максимальное значение функции лежит далеко за пределами рассматриваемой области факторного пространства и, следовательно, как и предполагалось ранее, наибольшее значение в пределах области факторного пространства лежит на ее границе. Таким образом искомое оптимальное значение функции отклика равно Y=53,38 при Х₁=2,3 и Х₂=4,2 .

Перейдем к решению следующей задачи – определению аппроксимирующего полинома, позволяющего определять значения функции отклика Y при любых значениях факторов, лежащих в пределах факторного пространства.