1. 

   Рис. 2.15. Определение

   Напряжений на наклонной площадке Решение

   проверить прочность материала; найти действительный коэффициент запаса прочности.

Заданный элемент ограничен главными площадками, поэтому сразу пронумеруем главные напряжения по убыванию ( , МПа, МПа) и изобразим на рисунке главные оси (рис. 2.15).

Определение напряжений. Напряжения на наклонной площадке вычисляются так же, как в задаче № 7. Единственное отличие состоит в том, что можно использовать частный случай (2.4) общих формул (2.2а) и (2.2б). Положение наклонной площадки будем задавать углом , отсчитываемым от оси 3 к нормали n. Значение положительно, так как угол отсчитывается против часовой стрелки.

Согласно (2.4)

Модуль полного напряжения

МПа.

Примененная формула для касательного напряжения справедлива для площадок, перпендикулярных плоскости чертежа. Максимальное для таких площадок касательное напряжение

МПа.

Соответствующее нормальное напряжение

МПа.

Рис. 2.16. Площадка

с максимальным касательным напряжением для заданного плоского напряженного

состояния

Подсчитанное выше значение касательного напряжения не самое большое из всех возможных значений. Это значение является максимумом для касательных напряжений по площадкам, перпендикулярным плоскости чертежа. Площадка, на которой действует , расположена под углом 45° к главным площадкам 2, 3 (рис. 2.16).

Максимальное касательное напряжение (максимум вычисляется для всех возможных площадок, проведенных через точку) и соответствующее ему нормальное напряжение

МПа,

МПа

Рис. 2.17. Площадка

с максимальным касательным напряжением для заданного объемного напряженного

состояния

всегда действуют на площадке, перпендикулярной второй главной площадке и повернутой на угол в 45° к первой и третьей главным площадкам (рис. 2.17). Заметим особо, что теперь, в отличие от результата в задаче № 7, .

Круг напряжений для заданного плоского напряженного состояния показан на рис. 2.18. Координаты точки дают значение напряжений на площадке с нормалью n. Площадке с соответствует точка круга.

На рис. 2.19 показаны все три круга напряжений. Видно, что площадке с наибольшим по модулю касательным напряжением соответствует точка, лежащая на бóльшем круге напряжений.

Проверка прочности. По условию задачи материал элемента хрупкий. При проверке прочности используем теории прочности, относящиеся к хрупким материалам.

Расчетное напряжение, соответствующее первой теории прочности

.

Видим, что первая теория прочности не годится для оценки прочности, так как она выдает в рассматриваемой ситуации неправдоподобный результат: при любом уровне напряжений прочность обеспечена.

Расчетное напряжение, соответствующее второй теории прочности,

Рис. 2.18. Круг Мора, изображающий заданное плоское

напряженное состояние

Прочность обеспечена с фактическим коэффициентом запаса

,

большем нормативного ( ).

Расчетное напряжение, соответствующее теории прочности

Мора,

Прочность обеспечена. Фактический коэффициент запаса

.

Рис. 2.20. Опасная площадка

по первой и второй теориям

прочности

Рис. 2.19. Круги Мора,

изображающие заданное объемное напряженное состояние

Опасная плоскость показана на рис. 2.20 жирной линией. Она перпендикулярна первому главному направлению. Если напряженное состояние достигнет критического уровня (для этого все напряжения надо увеличить в раз), то по указанной плоскости произойдет разрушение.

2.3. РАСЧЕТ ДЛИННОЙ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБЫ,

ПОДВЕРЖЕННОЙ ДЕЙСТВИЮ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ, ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ И КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА

(ЗАДАЧА № 9)

Основные формулы

Рис. 2.21. Тонкостенная труба под действием внутреннего

давления, продольной силы и крутящего момента

Рассматривается длинная прямолинейная цилиндрическая тонкостенная труба (рис. 2.21) с , . Труба нагружена внутренним давлением , по ее торцам приложены силы и крутящие моменты .

Рис. 2.22. Напряжения

в трубе от продольной силы

Напряжения в трубе будем обозначать, используя местную декартову систему координат x, y, z (см. рис. 2.21): ось x параллельна оси трубы, ось z направлена по касательной к срединной линии поперечного сечения, осью y служит продолжение радиуса R.

Сила вызывает в поперечном сечении трубы продольное усилие и создает нормальное напряжение (рис. 2.22)

.

Здесь – значение площади поперечного сечения тонкостенной трубы.

Рис. 2.23. Напряжения в трубе от

внутреннего давления

Внутреннее давление вызывает растяжение трубы в кольцевом направлении (рис. 2.23), чему соответствует напряжение в продольных сечениях трубы:

.

Рис. 2.24. Напряжения

в трубе от крутящего

момента

Напряжения положительны при . Случай отвечает давлению, приложенному к наружной поверхности.

Крутящий момент создает касательные напряжения в поперечном сечении трубы (рис. 2.24):

.

Направление касательного напряжения совпадает с направлением крутящего момента .

Остальные напряжения либо в точности равны нулю, либо малы:

, .

Напряженное состояние элементарного параллелепипеда, вырезанного из трубы (рис. 2.25), является плоским. Анализ напряженного состояния выполняется так же, как в задаче № 7.