§ 3. Биноминальное распределение

Если производится nнезависимых испытаний, в каждом из которых событиеАможет появится либо не появиться, причем вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и равнаp, то закон распределения вероятностей определяется формулой Бернулли:, которое называютбиноминальным распределением вероятностей.

Запишем биноминальный закон в виде таблицы:

X	n	n – 1	…	k	…	0
P	pn	npn-1q	…	pkqn-k	…	qn

Пример. См. предыдущий.

§ 4. Распределение Пуассона

Если производится nнезависимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событияАравноpиnвелико, то закон распределения вероятностей массовых (nвелико) и редких (pмало) событий определяется:

P_n(k) =^ke^/k!, гдеλ=рn.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона.

Пример. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Решение. По условию n= 1000,р = 0,004,k = 5. Найдемλ:λ=рn= 4.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

P₁₀₀₀(5) = 4⁵e^4/5!0,15.

Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступаю в случайные моменты времени.

Интенсивность потокаλ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления kсобытий простейшего потока за время длительностьюtопределяется формулой Пуассона

P_t(k) = (t)^k/k!.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появленияkсобытий на любом промежутке времени зависит только от числаkи от длительностиtпромежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом промежутки времени предполагаются непересекающимися.

Свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появленияk событий за промежуток времени длительностиtесть функция, зависящая только отkиt.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно, т.е. за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 минуту, равно 5. найти вероятность того, что за две минуты поступит:

а) три вызова; б) менее трех вызовов.

Решение. Будем предполагать, что поток вызовов является простейшим.

а) По условию λ= 5,t = 2,k= 3. Вероятность того, что за две минуты поступит два вызова найдем по формуле Пуассона:

P₂(3) = 10³e^10/3!0,0076.

б) События не поступило ни одного вызова, поступил один вызов и поступило два вызова несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за две минуты поступит менее трех вызовов, равна

P₂(k < 3) = P₂(0) + P₂(1) + P₂(2) = e^10 + 10e^10 + 10²e^10/2!  0,0028.