Chast_10_TV

6.1.1. Функция распределения многомерной случайной величины

Функцией распределения многомерной случайной величины назы-

вается величина F (x1, x2,..., xn ) = P{X1 < x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. Событие в фигурных скобках означает произведение событий

{} = {X1 < x1}{X 2 < x2 }Ч...Ч{Xn < xn } , т. е. события происходят одновременно.

Т.о. F (x1,..., xn ) = P({X1 < x1}Ч...Ч{Xn < xn}) . Функция распределения F (x1, …, xn) называется совместной функцией распределения од-

Геометрически это означает вероятность попадания случайной точки (X, Y) в заштрихованную область.

Основные свойства совместной функции распределения F (x, y):

1°. Функция F (x, y) есть неубывающая функция своих аргументов.

6.1.2. Дискретные многомерные случайные величины (ДМСВ)

Рассмотрим случай 2 дискретных случайных величин.

X= {X ,Y } называется дискретной, если случайные величины X

иY имеют конечное (или счетное) множество возможных значе-

X = {x1, x2 ,..., xk }, ний: Y = {y1, y2 ,..., ys }.

51

Вероятность того, что случайная величина X примет значение xi, а случайная величина Y — значение yj, называется зако-

ном распределения двумерной дискретной случайной величины, т.е.

Pij = P{X = xi ;Y = y j }.

Событие есть произведение событий {X = xi }{Y = y j } ; Рij — со-

вместная вероятность.

Закон распределения ДМСВ может быть задан аналогично ряду

распределения для одномерной СВ таблицей (или матрицей) распределения.

1) Pij і 0, "i, j ;

Теорема (о восстановлении одномерной вероятности).

По известной матрице распределения двумерной дискретной случайной величины (X, Y) можно записать ряды одномерных случайных величин X и Y.

52

Т. е., чтобы найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет значение, например, xi (yj) надо просуммировать вероятностипределения. Pij, стоящие в i-й строке (j-м столбце) матрицы рас-

6.1.3. Непрерывные многомерные случайные величины (НМСВ)

X = {X ,Y} называется непрерывной, если ее функция распределения F (x, y) является непрерывной функцией и имеет вто-

рую смешанную производную ¶2F (x, y) и ¶2F (x, y) = f (x, y) .

¶x¶y ¶x¶y

Функция f (x, y) называется плотностью распределения (совместной плотностью).

Свойства функции f (x, y):

1. f (x, y) і 0 ;

Геометрически совместная плотность распределения — это поверх-

ность. x Объем, ограниченный поверхно-

стью распределения и плоскостью OXY, равен 1.

Аналогично случаю одномерной СВ с элементом вероятности f (x) dx в случае двумерной СВ вводится элемент вероятности f (x, y) dxdy.

Элемент вероятности равен вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник dxdy; эта вероятность приблизительно равна объему f (x, y) dxdy.

Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D плоскости XOY геометрически означает объем тела с основанием D и огра-

ниченного сверху поверхностью f (x, y). P{(X ,Y )ОD} = тт f (x, y)dxdy .

D

Зная совместную плотность распределения двумерной случайной величины f (x, y), можно найти функцию распределения F (x, y) по формуле

53

x y

F (x, y) = т т f (x, y)dxdy ,

-Ґ -Ґ

что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной СВ.

Теорема (о восстановлении одномерной плотности).

Если известен закон распределения НМСВ, то можно найти за-

Ґ

-Ґ

Для получения плотности распределения одномерной случайной величины, надо проинтегрировать совместную плотность от — Ґ до

Ґпо аргументу, соответствующему другой случайной величине. Пример: Область D — треугольник с вершинами в точках

54

6.2. Зависимые и независимые случайные величины

Поставим задачу, обратную теоремам предыдущего параграфа: построение многомерного закона распределения по известным одномерным. В общем виде этого сделать нельзя. Это можно сделать, когда одномерные случайные величины, составляющие многомерную случайную величину, являются независимыми.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.

Теорема (критерий независимости). Случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда их совместная функция распределения равна произведению функций распределения одно-

Читая те же цепочки равенств в обратном направлении, получаем, что из справедливости равенства F (x, y) = F1(x)Ч F2(y) следует независимость X и Y .

Следствие. Д.с.в. X и Y независимы тогда и только тогда, когда

Pij = piq j ; Pij = P{X = xi ;Y = y j }; pi = P{X = xi } ; qj = P{Y = y j } (каждый элемент Pij матрицы распределения двух независимых с. в. равен

произведению соответствующих (i-го и j-го) элемент рядов распределения с.в. X и Y).

Следствие. Н.с.в. X и Y независимы тогда и только тогда, когда f (x, y) = f1(x)Ч f2(y) (совместная плотность распределения равна произведению плотностей распределения одномерных с. в.).

Пример: Рассмотрим предыдущий пример ( X = {X ,Y} равномерно распределена на D). Выясним, являются ли величины X и Y зависимыми, для этого проверим выполнение условия f (x, y ) = f1 (x ) f2 (y ) .

55

Если безусловные и условные вероятности (Pxi и P(xi y j ), Py j

Найти безусловные законы распределения случайных величин X и Y и условный закон распределения X при Y = 2 .

Решение: Суммируя, получаем безусловные законы распределения компонент

f (x, y) суммы заменяются интегралами. Безусловные плотности распределения компонент X и Y равны соответственно

f1 (x ) = т-ҐҐ f (x, y ) dy , f2 ( y) = т-ҐҐ f (x, y)dx .

Условная плотность распределения (или плотность вероятности условного распределения) случайной величины X при условии, что случайная величина Y = y определяется как

57

Условная плотность обладает всеми свойствами плотности распределения:

f (x y) і 0, т-ҐҐ f (x y )dx = 1 .

Аналогично определяется условная плотность распределения случайной величины Y при условии, что случайная величина X = x :

Соотношения для условных плотностей могут быть записаны в виде:

f (x, y ) = f1 (x ) Ч f (y x ) = f2 (y ) Ч f (x y ) .

6.3. Суммы случайных величин. Сумма двух случайных величин

Рассмотрим сумму двух случайных величин Z = X +Y и поставим вопрос: каков закон распределения суммы, если известны законы распределения слагаемых? Неочевидно, что закон распределения суммы (не только его параметры, но даже вид) останется неизменным даже при одинаковых законах распределения слагаемых.

Рассмотрим простейший случай — равномерно распределенные слагаемые. Вспомним основные свойства равномерного распреде-

оb - a

58

Вероятность попадания с. в. X на любую часть отрезка, например, в интервал (a,b), a Ј a < X < b Ј b : P (a < X < b) = bb --aa .

x

Функция распределения F (x) : F (x) = P (X < x) = т f (x)dx .

-Ґ

59

Это плотность так называемого «треугольного» распределения Симпсона. Мы видим, что равномерное распределение не обладает устойчивостью относительно суммирования.

Рассмотрим ситуацию в общем виде: пусть задана двумерная случайная величина, или случайный вектор R = {X ,Y }. Совместную плотность распределения обозначим как fXY (x, y) . Введем новую

с. в. — сумму координат случайного вектора R : Z = X +Y . Зафиксируем значение суммы: пусть с. в. Z приняла значение z . Тогда, если с.в. X приняла значение x , то с. в. Y должна принять значение y = z - x . Суммируя по всем возможным значениям x , получаем

Ґ

fZ (z) = fX +Y (z) = т fXY (x,z - x)dx . Эта формула называется формулой

-Ґ

свертки.

Наиболее просто формула выглядит в том случае, когда с. в. X

и Y независимы:

fXY (x, y) = fX (x) Ч fY (y) ,

Ґ

fX +Y (z) = т fX (x)Ч fY (z - x)dx .

-Ґ

Вернемся к ранее рассмотренному примеру.

Пример: Используя формулу свертки, найти плотность распределения и функцию распределения суммы двух независимых случайных величин с одинаковым распределением, равномерным на отрезке [0,1] .

Решение: Плотность распределения для слагаемых

60