5.5. Примеры специальных смо
Пример 5.4. Рассматривается функционирование большого аэродрома с единственной взлетно-посадочной полосой (ВПП). В среднем за сутки взлетает 240 самолетов. При посадке самолет занимает ВПП в среднем в течение 3 мин, а при взлете – 1,5 мин. Определить характеристики работы аэродрома в стационарном режиме.
Решение
Аэродром можно рассматривать как одноканальную систему с приоритетом. Самолету разрешается взлет с аэродрома в том случае, когда нет самолетов, идущих на посадку. Поток самолетов, идущих на посадку, можно рассматривать как поток заявок, обладающих приоритетом в использовании ВПП. Характеристики такой системы с приоритетом следующие:
сутки
–1
=
мин–1.
Характеристика обслуживания:
мин
–1,
мин–1,
следовательно,
,
.
Условие
выполняется.
Среднее число самолетов, ожидающих в воздухе, пока освободится ВПП,
.
Среднее время пребывания самолета в воздухе перед посадкой
Среднее время, затрачиваемое самолетом на посадку,
Среднее время ожидания разрешения на взлет для самолета, находящегося на аэродроме,
Среднее число самолетов, ожидающих на аэродроме разрешения на взлет,
.
Среднее время, проходящее от момента готовности самолета ко взлету до момента осуществления взлета,
Среднее число самолетов, готовых к взлету, но находящихся на аэродроме,
Таким образом, видно, что несмотря на большое число посадок и вылетов за сутки (240) можно считать, что аэродром будет функционировать нормально: самолетам, идущим на посадку, не придется долго ждать в воздухе освобождения ВПП.
Пример 5.5. Анализируется работа междугороднего переговорного пункта в небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для переговоров. Переговоры бывают двух видов: обычные и срочные. При проведении срочного переговора обычный переговор прерывается. В среднем за сутки поступает 180 заявок на обычные переговоры и 60 на срочные. Средняя длительность переговоров обоих видов (с учетом вызова абонента в другом городе) составляет 5 минут. Определить характеристики работы переговорного пункта в стационарном режиме.
Решение
Переговорный пункт можно рассматривать как одноканальную систему массового обслуживания с приоритетом. Ее характеристики следующие:
мин
–1,
мин–1,
мин
–1,
,
.
Условия
наличия стационарного режима выполняются
(
=
=
).
Среднее число ожидающих срочного переговора
Среднее время ожидания срочного переговора
Среднее время ожидания обычного переговора
Среднее число ожидающих обычного переговора
.
Среднее число людей, находящихся на переговорном пункте (за исключением обслуживающего персонала),
Таким образом, видно, что приобретение за дополнительную плату права на срочный переговор сокращает время ожидания в очереди приблизительно в 27 раз.
Оглавление
|
Введение |
3 |
|
1. Основы теории случайных процессов |
5 |
|
1.1. Семейства случайных величин |
5 |
|
1.2. Выборочные функции |
7 |
|
1.3. Теорема Колмогорова |
9 |
|
1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай |
11 |
|
1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай |
13 |
|
1.6. Пуассоновский процесс |
16 |
|
1.7. Общие свойства случайных процессов |
19 |
|
1.8. Примеры случайных процессов |
21 |
|
2. Случайные потоки сообщений |
23 |
|
2.1. Основные понятия |
23 |
|
2.2. Принципы классификации входящих потоков |
25 |
|
2.3. Характеристики входящих потоков |
25 |
|
2.4. Простейший входящий поток |
27 |
|
2.5. Нестационарный и неординарный пуассоновские потоки |
31 |
|
2.6. Потоки с простым последействием |
32 |
|
2.6.1. Симметричный и примитивный потоки |
33 |
|
2.6.2. Поток с повторными заявками |
34 |
|
2.7. Поток с ограниченным поступлением. Поток Пальма |
35 |
|
2.8. Просеивание потоков. Потоки Эрланга |
36 |
|
2.9. Неоднородный входящий поток |
37 |
|
2.10. Примеры решения задач |
39 |
|
2.11. Цепи Маркова |
41 |
|
2.12. Предельные теоремы для потоков событий |
46 |
|
2.12.1. Предельная теорема для суммарного потока |
46 |
|
2.12.2. Предельная теорема для редеющих потоков |
48 |
|
3. Основы теории систем массового обслуживания |
50 |
|
3.1. Элементы систем массового обслуживания |
50 |
|
3.1.1. Виды распределения входящего потока и времени обслуживания |
50 |
|
3.1.2. Дисциплина обслуживания заявок |
51 |
|
3.1.3. Канал обслуживания |
52 |
|
3.1.4. Выходящий поток |
53 |
|
3.2. Классификация СМО |
54 |
|
3.3. Процессы гибели и размножения |
54 |
|
3.4. Системы массового обслуживания с отказами |
60 |
|
3.4.1. Классическая система массового обслуживания с отказами (система Эрланга) |
60 |
|
3.4.2. Системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами |
66 |
|
3.4.3. Системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами |
69 |
|
3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потоками |
71 |
|
3.4.5. Примеры систем массового обслуживания с отказами |
75 |
|
4. Системы массового обслуживания с ожиданием |
79 |
|
4.1. Классическая система массового обслуживания с ожиданием |
80 |
|
4.2. Векторная модель с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди |
83 |
|
4.3. Векторная модель с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди |
87 |
|
4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием |
92 |
|
5. Различные системы массового обслуживания |
95 |
|
5.1. Система массового обслуживания с ожиданием и приоритетом в обслуживании |
95 |
|
5.2. Векторная модель системы массового обслуживания с приоритетом |
101 |
|
5.3. Замкнутая векторная СМО с отказами в обслуживании |
106 |
|
5.4. Исследование и оптимизация управляемой СМО |
110 |
|
5.5. Примеры специальных СМО |
115 |
|
Список литературы |
118 |