Условия однозначности для процессов теплопроводности
Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности описывает целый класс соответствующих явлений. Чтобы выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса.
Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями.
Условия однозначности включают в себя:
геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;
физические условия, характеризующие физические свойства среды;
временные (начальные) условия, характеризующие распределение температуры в изучаемом теле в начальный момент времени;
граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.
Существует четыре типа граничных условий:
Граничное условие первого рода.
При этом задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:
,
(1.14)
где
– температура на поверхности тела;
– координаты поверхности тела.
Простейший
случай
.
Граничное условие второго рода.
При этом задается значение теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:
,
(1.15)
где
– плотность теплового потока на
поверхности тела.
Простейший
случай
.
Граничное условие третьего рода.
При
этом задается температура окружающей
среды
и закон теплообмена между поверхностью
тела и окружающей средой. Для описания
процесса теплообмена между поверхностью
тела и средой используется закон
Ньютона-Рихмана.
Согласно
этому закону количество теплоты,
отдаваемое единицей поверхности тела
в единицу времени, пропорционально
разности температур поверхности тела
и окружающей среды
(
):
,
(1.16)
где
– коэффициент пропорциональности,
называемый коэффициентом теплоотдачи,
Вт/(м2·C).
Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.
Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи, должно равняться теплоте, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела, т.е.
,
(1.17)
где
– нормаль к поверхности тела; индекс
«с» указывает на то, что температура и
градиент относятся к поверхности тела
(при
).
Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде:
.
(1.18)
Граничное условие четвертого рода.
Это условие характеризует условие теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы).
В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения (см. рис. 1.4):
.
(1.19)
В задачах с граничными условиями четвертого рода задается отношение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в точке соприкосновения тел или тела и среды.
Рис.1.4. Граничное условие четвертого рода
Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дают полную математическую формулировку конкретной тепловой задачи. Поставленная таким образом задача разрешается аналитическим, численным или экспериментальным методами.