Кривые второго порядка.
1.
Найти
и построить кривые
.
2. Составить уравнение параболы с вершиной в (0,0), проходящей через точку (1,3) а) симметричную относительно OX; б) симметричную относительноOY.
3.
Построить линии:
.
4. Построить кривые
Дома.1. Построить кривые
2.
Составить уравнение окружности с центром
в
,
проходящей через точку
.
Ответы:
2.
.
Плоскость.
1.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки
.
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
а)
ось ОХ и точку
;
б)
точку
параллельно
плоскостиYOZ.
3.
При каких
плоскости
и
перпендикулярны?
4. Определить двугранные углы, образованные пересечением плоскостей
и
.
5.
Построить плоскости. Выписать вектор
нормали.
Дома.1. Составить уравнение плоскости,
проходящей через осьOYи точку
.
2.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки
.
3.
При каких
плоскости
и
параллельны?
Ответы:
Прямая в пространстве.
1.
Составить каноническое и параметрическое
уравнения прямой, проходящей через
точку
параллельно
а)
вектору
;
б) прямой
;
в) оси ОХ.
2.
Составить каноническое и параметрическое
уравнения прямой, проходящей через
точки
.
3. Составить каноническое и параметрическое уравнения прямой
Дома.
1. Составить каноническое и параметрическое
уравнения прямой, проходящей через
точку
параллельно
оси ОY.
2.
Составить общее, каноническое и
параметрическое уравнения прямой,
образованной пересечением плоскостей
XOZи
.
Ответы:
Прямая и плоскость в пространстве.
1.
Найти точку пересечения прямой
и плоскости
.
2.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
перпендикулярно прямой
.
3.
Найти точку В, симметричную точке
относительно прямой, проходящей через
точки
.
4.
Дано: точка
,
плоскость
.
Найти а) расстояние от А до Р б) точку
В, симметричную точке А относительно
плоскости Р.
Дома.
1. При каком значении параметра
прямая
параллельна
плоскости
?
2.
Найти проекцию точки
на прямую
и расстояние от М до прямой.
Ответы:
Поверхности 2-го порядка.
1. Построить поверхности
2. Построить тело, ограниченное поверхностями
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
График функции
1. Построить графики функций, заданных явно
2. Построить графики функций, заданных параметрически
3. Построить графики функций в полярной системе координат
.
Дома. Построить графики функций
Алгебраические пределы
Вычислить пределы
Дома.Вычислить пределы
.
Ответы:
.
Замечательные пределы
Вычислить пределы
Дома.Вычислить пределы
Ответы:
Непрерывность функции
Исследовать
функции на непрерывность, классифицировать
точки разрыва.
Дома.Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции вблизи точек разрыва.
.
Ответы:
– точка разрываIIрода
– точка разрываIрода
(устранимый разрыв)
– точка разрываIрода
(скачок).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Техника дифференцирования
1. Вычислить первую производную функции
2. Найти значение
.
3.
Найти
при
:
.
Дома.1. Найти
.
2.
Найти значения
при
.
Ответы:
1.
Правило Лопиталя
Дома.Вычислить пределы, используя правило
Лопиталя
Ответы:
.
Исследование функции
1. Найти локальные экстремумы функций
2.
Построить графики функций 
.
.
3. По асимптотам построить эскиз графика
4.
Провести полное исследование и построить
график функции
.
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
6. Какими должны быть размеры банки цилиндрической формы, чтобы при фиксированном объеме площадь ее поверхности была наименьшей?
7. Вычислить дифференциал функции
.
Дома. 1. Построить графики функций
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
.
3.
Из пункта А в пункт В отправляется лодка
со скоростью 10 км\ч. Из пункта В в С
отправляется в это же время катер со
скоростью 15 км\ч. Через какое время
расстояние между ними будет наименьшим,
если от А до В 190 км и угол АВС –
?
Ответы:
.
3. Через 7 часов.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Найти область допустимых значений функции
2. Найти поверхности
уровня функции
.
3. Найти частные производные первого порядка
4.
Найти:
5. Доказать тождества
6. Найти
:
7. Найти
8. Найти
9.
Дано:
Найти
.
Дано:
.
Найти
.
10. Найти производную
функции
по направлению вектора
:
.
11. Найти производную
функции
в точке
в направлении, составляющем угол
с положительным направлением оси
.
12. Найти градиент
и наибольшую скорость возрастания
функции
в точке
13. Найти уравнения
касательной плоскости и нормали к
поверхности
в точке, для которой
.
14. К поверхности
провести касательную плоскость,
параллельную плоскости
.
15. Исследовать на экстремум функцию
.
16. Найти наибольшее
и наименьшее значения функции
в замкнутом треугольнике, ограниченном
осями координат и прямой
.
Дома.1. Найти
и изобразить на плоскости область
допустимых значений функции
2. Вычислить
,
если
3. Найти
,
если
.
4. Доказать тождества
5.
а)
–?
–?
6. Функция
задана уравнением
.
Найти
при
.
7. Найти производную
функции
в точке
по направлению вектора
,
где
8. Найти градиент
и наибольшую скорость возрастания
функции
в точке
9. Найти уравнения
касательной плоскости и нормали к
поверхности
в точке
.
10. Исследовать на экстремум функцию
.
11. Найти наибольшее
и наименьшее значения функции
в замкнутом прямоугольнике:
.
Ответы.
вопрос об экстремуме
в точке
остается открытым. 11.
.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ