2. Законы сохранения в механике.

2.1. Закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия системы тел равна сумме кинетической и потенциальной энергии взаимодействия этих тел друг с другом и с внешними телами:

Е = Е_к + Е_п.

Приращение полной механической энергии системы определяется работой всех неконсервативных сил (внешних и внутренних):

.

Закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия системы тел, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.

В замкнутой системе (то есть системе тел, на которые не действуют внешние силы) полная механическая энергия остается постоянной, если между телами, составляющими систему, действуют только консервативные силы.

2.2. Закон сохранения импульса. Удар двух тел.

Закон сохранения импульса. Импульс замкнутой системы тел остается посто­янным.

Для замкнутой системы будут сохраняться и проекции импульса на координатные оси:

.

Если система не замкнута и  0, но = 0, то будет сохраняться проекция импульса системы на ось Х.

Ударом называется кратковременное взаимодействие тел. Выделяют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

При абсолютно упругом ударе сохраняется импульс системы тел и полная механическая энергия.

После абсолютно неупругого удара тела движутся вместе с одинаковой скоростью. Импульс системы тел сохраняется, а полная механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию тел.

2.3. Закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса. Момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным:

Если система не замкнута, но имеется ось вращения, относительно которой суммарный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы тел относительно этой оси остается постоянным.

Примеры решения задач.

Пример 1. Небольшое тело массой m равномерно втащили на горку, действуя силой, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории. Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания l, и коэффициент трения .

Р ешение.

Работу, совершаемую силой , можно найти по общему определению работы:

Для этого необходимо предварительно найти силу F. Рассмотрим перемещаемое тело в произвольной точке траектории его движения. На тело действуют четыре силы: сила тяжести , сила реакции опоры , сила трения скольжения и внешняя сила . Поскольку по условию задачи тело движется равномерно, то векторная сумма этих сил равна нулю:

Рис. 1

Выберем координатные оси X и Y таким образом, чтобы ось X была направлена по касательной к траектории (вдоль перемещения ). Запишем векторное равенство в проекциях на эти координатные оси.

ox:

oy:

Тогда , а модуль силы

Теперь можно найти выражение для элементарной работы, совершаемой силой F при перемещении тела на расстояние dr. При этом учтем, что угол между векторами и равен нулю и косинус этого угла равен единице.

Тогда

Из рис. 1 видно, что , то есть элементарному приращению высоты при перемещении тела на расстояние dr, а , то есть элементарному перемещению тела в горизонтальном направлении.

Тогда

и полная работа, совершаемая силой F при втаскивании тела на горку:

Ответ: .

Пример 2. На горизонтальной поверхности лежит брусок массой m = 11 кг. К бруску прикреплена пружина жесткостью k = 200 Н/м. Коэффициент трения между бруском и поверхностью  = 0,1. Вначале пружина не деформирована. Затем, приложив к свободному концу пружины силу F, направленную под углом  = 45^о к горизонту, брусок медленно переместили на расстояние S = 50 см. Какая работа была при этом совершена?