Литература

1. Теория автоматического управления. Ч. II. Под ред. Нетушила А.В., М.: Высш. школа, 1982, 400 c.

Лабораторная работа № 6 Исследование нелинейных систем автоматического управления методом гармонического баланса

Цель работы: исследование периодических процессов в автономных нелинейных системах автоматического управление (автоколебаний), условий возникновения устойчивых автоколебаний и определение их параметров.

Теоретические положения

Рассматривается нелинейная система, структурная схема которой представлена на рис.6.1,

x_y=0 x(t) z(t) y(t)

+f(x) W_н(p)

-

Рис.6.1

где f(х) - характеристика статического нелинейного элемента, W(p) -передаточная функция линейной динамической части системы автоматического управления. Из схемы (рис.6.1) приx_y=0 следует

х(t) +y(t)=0. (6.1)

Для анализа периодических процессов, протекающих в схеме, предположим, что сигнал ошибки x(t) можно представить в виде гармонического сигнала, т. е. x(t)=Xm sinωt.(6.2)

Тогда на выходе нелинейного элемента сигнал можно представить рядом Фурье

(6.3)

Для нелинейных элементов с нечетными характеристиками постоянная составляющая сигнала z(t) (z_mo) равна нулю и суммирование в (6.3), начинается с к=1. В зависимости от вида нелинейности соотношение амплитуд гармонических составляющих в (6.3) будет различным. При прохождении сигнала z(t) через линейное динамическое звено соотношение амплитуд гармонических составляющих изменится, при этом амплитуды высших гармоник уменьшатся из-за фильтрующих свойств линейной части системы. В методе гармонического баланса принимается гипотеза фильтра, согласно которой всеми гармоническими составляющими сигнала y(t), кроме первой, можно пренебречь. При выполнении гипотезы фильтра

y(t)=Y_m1sin(ωt+φ) (6.4)

и равенство (6.1) распадается на два:

X_m=Y_m1; φ=π.(6.5)

Уравнения (6.5) носят название уравнений гармонического баланса.

Комплексный коэффициент усиления нелинейного звена

При выполнении гипотезы фильтра в схеме учитывается только первая гармоническая составляющая сигнала z(t), т.е.

Z_m1sin(ωt+φ₁) (6.6)

С использованием формулы Эйлера выражение (6.6) может бытьпредставлено следующим образом: =Im{Z_m1e^{j (ωt+φ}₁⁾}=Im{Z}

В то же время выражение (6.6) может быть записано в виде

(6.7)

откуда следует, что Z можно представить как

Комплексным коэффициентом усиления нелинейного звеня (ККУ) называют отношение первых гармоник выходного и входного сигналов, выраженных в комплексной форме. В отличие от линейных звеньев ККУ нелинейного звена зависит не от частоты, а от амплитуды входного сигнала

(6.8)

Как видно из (6.8), комплексный коэффициент определяется коэффициентами K_sи К_c, которые называютсякоэффициентами гармонической линеаризации.

Определение коэффициентов гармонической линеаризации

Определение коэффициентов гармонической линеаризации следует проводить, исходя из тех соображений, что сигнал является приближением сигналаz(t). Учитывая периодичность сигналов, приближение можно проводить на периоде, минимизируя среднюю квадратическую ошибку (СКО) между сигналамиz(t)и, т.е.

(6.9)

Выражения коэффициентов гармонической линеаризации получаются из очевидных соотношенийи имеют вид:

(6.10)

Выражения коэффициентов гармонической линеаризации для различных нелинейностей приведены в табл. 6.2. Следует заметить, что для всех однозначных нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации К_с равны нулю.