Скорость точки при векторном и координатном способе задания движения.

Векторный способ.

,

- средняя скорость за

, - мгновенная скорость.

Координатный способ.

(1)

не изменяются, так как - принимаем за неподвижную.

(2)

Сравниваем (1) и (2)

, ,.

При координатном способе задания движения материальной точки вектор скорости определяется своими проекциями на оси координат, являющиеся неподвижными. . Эти проекции скорости равны производным от соответствующих координат. Знание проекций скорости позволяет найти ее величину и ее направление.

.

Направление вектора скорости можно задать с помощью углов, которые образуют вектор скорости с координатными осями.

, ,

Положениестремится к касательной точки. Скорость в каждый момент времени направлена по касательной к траектории.

Ускорение точки при векторном и координатном способе задания движения.

Ускорением точки называетсяпо времени.

, .

, так как -const.

.

Направляющие косинусы для :

, ,.

БИЛЕТ 2.

Естественный способ задания движения точки.

Движение точки заданно естественно, если:

1. Задана траектория

2. Начало отсчета

3. Задано направление отсчета

4. Известна длина дуги как функция времени.

- естественный закон движения точки. .

Каждое положение точки на траектории характеризуется своим радиус-вектором. ,.

Зависимость точки от координатына траектории.

, - вектор.

Так как длина дуги стремится к длине секущей при сближении точек (для достаточно гладких кривых), то длина этого вектора:

. Вектор - единичный вектор.

стремится к касательной в точке 1.

В каждой точке может быть введен - единичный вектор касательной.

. направлен в сторону увеличения.- проекция вектора скорости на направление касательной.

Если, то. Если же, то.

. -вектор.

Вектор при движении вдоль траектории не изменяется по величине, а изменяется только по направлению, поэтому.

Скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, если угол между ними

.

Вектор постоянной длины и переменного направления. Если его начало закрепить, то при движении он будет описывать сферу. Производная вектора есть скорость конца вектора, то есть величина, вектор которой направлен по касательной к сфере, а значит -ый измен. вектору.

, - кривизна траектории.

Если кривая достаточно гладкая, т.е. вектор касательной резко не изменяет своего положения, то на малом перемещении угол изменяется на малую величину.

Кривизна траектории характеризует изменение направления вектора вдоль траектории.

. , .- единичный вектор..

, где . Если движение по окружности, торадиусу окружности.

, .

БИЛЕТ 3.

Естественный трехгранник (трехгранник Дарбу). Естественный способ задания движения точки.

, .- единичный вектор бинормаль.

образуют правый трехгранник. – сопровождающий трехгранник или трехгранник Дарбу. ,.

Плоскость, проходящая через вектора - нормальная плоскость.

Плоскость, проходящая через вектора - соприкасающаяся плоскость.

Абсолютно твердым телом называется система материальных точек, растояние между которыми остается неизменным все время движения.

(1)

(2)

(3)

9 координат, удовл. 3 уравнениям 6 свободных.

- независимые.

В векторных пределах свободно можно выбрать , затем из (1) найти .

(2) и (3) ограничив только одну из них можно выбрать свободной.

- жестко связ с АТТ.

- единичные вектора .

- неподвижные оси, - единичные вектора неподвижных осей.

Координаты начала подвижной системы координат.

Матрицей ориентации (матрицей направляющих косинусов) трехгранника называется

относительно .

=

=- матрица 3х3

Независимыми являются только три.

В силу свойств матрицей направляющих косинусов.

=

Пусть даны вектора .

Определение: Скалярное произведение векторов :.

, если

=

,

число.

Векторным произведением двух векторов называется вектор, обладающий следующими свойствами:

1). Этот вектор перпендикулярен плоскости векторов .

2). Вектора составляют правую тройку векторов.

3). Модуль равен модулю. Другими словами,равен площади параллелограмма, построенного на векторах.

,

.

БИЛЕТ 4.

Стандартные матрицы ориентации.

1) сумма квадратов элементов каждой строки =1

.

В первой строке матрицы направляющих косинусов стоят проекции единичного вектора на единичные вектораили на оси.

Если взять сумму квадратов элементов

Сумма попарных произведений различных строк =0.

(1) строка х (3) строка = 0

(2) строка х (3) строка = 0

9 элементов матрицы должны удовлетворять условию, что 6 ограничены.независимыми являются 3 элемента матрицы ориентации.

Положение АТТ в пространстве относительно неподвижной системы координат можно задать с помощью задания положения какой-либо точки АТТ, непример начала- точки А и тремя независимыми параметрами матрицы ориентации подвижной системы координат, жестко связанной с АТТ, относительно неподвижной.

- единичные вектора осей

- единичные вектора осей

, .

, ,.

.

Строки матрицы ориентации взаимно ортогональны. Аналогичное свойство справедливо и для столбцов.

, .

, ,

.

БИЛЕТ 5.

Углы Эйлера.

- неподвижный трехгранник.

- подвижный трехгранник (связанный с АТТ).

- линия узлов.

.

- угол прецессии.

- угол нутации.

- угол собтвенного вращения

Все три угла определены, если.

- углы меняются со временем.

НавокругOz

НавокругOY

НавокругOz

БИЛЕТ 6.