2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения

Напомним сначала, что корень характеристического многочленаназывается корнем кратности если

Полезно заметить, что если полином имеетразличных корней(– степень многочлена), то все они имеют кратностьОднократные корни называют еще простыми корнями .

Записав для многочлена формулу Тейлора

(остаточный член его равен тождественно нулю), получим с учетом равенств (6), что если – корень кратности, топредставляется в виде

где – многочлен степенитакой, чтоОчевидно, верно и обратное: еслипредставляется в виде (7) , где то--- корень кратностимногочлена

Построению фундаментальной системы решений в случае кратных корней характеристического уравнения предпошлем несколько вспомогательных утверждений.

Если – дифференциальный оператор с постоянными коэффициентамито имеет место формула

Действительно, по (2) имеем Дифференцируя это тождество по и учитывая, что операторыиперестановочны при применении их к бесконечно дифференцируемой поифункции, будем иметь

Таким образом, справедливо тождество (8).

Пусть – корень кратностихарактеристического многочленауравнения (21.26) с постоянными коэффициентамиТогдафункций

линейно независимы на любом отрезке и являются решениями уравнения (1).

Доказательство. Пусть – любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству. Согласноимеет место тождество

где (см.). Имеем

Полагая в последнем тождестве , будем иметь

Это означает, что функции (9) являются решениями уравнения (1). Эти функции линейно независимы на любом отрезке (см. утверждениепредыдущей лекции). Свойстводоказано.

Если – комплексный корень кратностиуравненияс постоянными и действительными коэффициентами, то отделяя в (9) действительные и мнимые части, получаемлинейно независимых действительных решений

Из этого факта и предыдущих утверждений вытекает следующий алгоритм построения фундаментальной системы решений однородного уравнения (1) с постоянными и действительными коэффициентами .

Алгоритм 1.

1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение , заменив в (1) производныена степени().

2) Найдем корни характеристического уравненияи установим их кратности.

3) Каждому действительному корню кратностипоставим в соответствиелинейно независимых решений

4) Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратностисопоставимлинейно независимых решений

5) Объединим все полученные линейно независимые решения. Получим фундаментальную систему решений уравнения (1), состоящую из функций (– порядок уравнения (1)).

Общее решение уравнения (1) имеет вид

где – построенная в алгоритме 1 фундаментальная система решений, а--- произвольные постоянные.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение , находим его корни и устанавливаем их кратности:

Согласно алгоритму 1 выписываем линейно независимые решения, отвечающие каждому корню:

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид