28Влияние осевых усилий на собственные изгибные колебания стержней

при сжатии

Уравнение для определения собственных частот и форм

Если граничные условия произвольные, то составляется характеристическое уравнение и т.д. Если граничные условия – шарнирное опирание, то можно принять

Граничные условия удовлетворяются автоматически. Удовлетворим уравнению

Если , то

ая Эйлерова сила

Приложение сжимающих усилий снижает частоту собственных колебаний, растягивающих – повышает. При , когданаступление нейтрального равновесия.

Пусть (растягивающее усилие). Тогда

Если , то(штриховые линии на рисунке). Стержень превращается в струну. Так как, то

Для стержня , для струны(пренебрегаем изгибом) и положивполучим. Для других граничных условий факт неучета первого слагаемого для струны сохраняется.

29Влияние инерции вращения и деформаций поперечного сдвига на изгибные колебания стержней

Рассмотрим балку Тимошенко

Пусть стержень оперт по концам

, гдеугол сдвига

Одно из уравнений Тимошенко

Так как на концах стержня ускорения и перемещения равны нулю, то здесьи тогдаи граничные условия записываются как обычно

Эти граничные условия позволяют искать решение в виде

Подставим в уравнение

Это – биквадратное уравнение, которое дает два значения для собственных частот (напомним, что исходные уравнения содержат две независимые функции и.)

Формы колебаний будут определятся следующим образом

Отличаются значениями числовых коэффициентов

Эти соотношения характеризуют форму колебаний. Одна частота соответствует преимущественно изгибным колебаниям, вторая – преимущественно сдвиговым.

Обозначим или, гдерадиус инерции. Частотасоответствует частотам колебаний балки Бернулли.

Величина одна из скоростей распространения упругих волн.

Введем также . Здесьтакже одна из скоростей распространения упругих волн.

С учетом этих обозначений перепишем частотное уравнение

Если стержень достаточно тонкий, то . Тогда получим, что, т.е.очень высокая частота, а частота изгибных колебаний будет совпадать со значением, полученным по классической теории. Покажем это

Если предположить, что искомая частота низкая, то . Если частота высокая, то пренебрегаем последним слагаемым и.

Обычно принимают

Если , то можно пользоваться классической теорией.

30Собственные колебания прямоугольных пластин.Граничные условия Навье. Уравнения и граничные условия

Тонкая пластина толщиной совершает изгибные колебания.

На контуре имеем граничные условия. Например,.

Предположим, что часть контура параллельна координатной линии

Край

Опирание:

Переходя к

Заделка:

Свободный край:

Для

Собственные колебания прямоугольной пластины с краевыми условиями Навье

,

граничные условия

это наиболее простой случай. Решение представим в виде

Подставим в уравнение

Обозначим (удлинение пластины). Решение для

Этим частотам соответствуют формы колебаний

Упорядочим частоты по возрастанию .

Если , то рассматриваемая форма характеризуется одной полуволной в одном направлении и одной в другом направлении

Среди собственных частот могут быть кратные. Пример: квадратная пластина

Здесь и любая комбинация второй и третьей форм есть новая форма колебаний, соответствующая той же частоте.