По критерию Гурвица:

Запишем передаточную функцию дискретной САУ в замкнутом состоянии через Z–преобразование (относительно сигнала y):

Введем подстановку . Тогда характеристическое уравнениепринимает вид:

После преобразований, из последнего соотношения получим:

Так как характеристическое уравнение устойчивой системы 3-го порядка имеет все положительные коэффициенты, то рассматриваемая система является неустойчивой в замкнутом состоянии.

Определим . Для этого передаточную функцию разомкнутой импульсной САУ припредставим следующим образом:

.

Тогда соответствующая передаточная функция САУ в замкнутом состоянии примет вид:

Подставим в характеристическое уравнение соответствующее передаточной функции ,. Тогда, после преобразований, получим:

Так как для САУ 3-го порядка условие устойчивости сводится к положительности коэффициентов характеристического уравнения и выполнению неравенства a_1*a₂-a_0*a₃>0, где a₀=;a₁=;

a₂=;a₃=, которое выполняется,

то из коэффициента при старшей степени получаем

На основе необходимого и достаточного условия устойчивости системы (в плоскости “z”):

Найдем корни характеристического уравнения замкнутой системы:

.

Корни, равные (-46,986; 0,9790; 0,9907) выходят из окружности единичного радиуса, значит, замкнутая система неустойчива.

Возьмем и для этого коэффициента усиления разомкнутой системы определим устойчивость замкнутой системы на основе корней характеристического уравнения.

Для получим, что:

Откуда корни характеристического уравнения для замкнутой системы равны:

, т.е. – значит, замкнутая САУ является устойчивой.

Переходной процесс на выходе замкнутой ИСАУ (x_p(t))

Построим переходной процесс на выходе замкнутой импульсной САУ x_p(t) при .

Для этого найдем дискретную передаточную функцию прямой цепи заданной системы, т.е. =

Запишем эту передаточную функцию относительно аргумента z и разделим числитель и знаменатель на. Тогда

Переходной процесс можно построить по следующему разностному уравнению, полученному из выражения для :

Рис. 18

Кинетическая и статическая ошибки замкнутой ИСАУ (x_уст=x_y-y):

Передаточная функция системы относительно ошибки равна:

Тогда статистическая ошибка при :

Кинетическая ошибка имеет место, когда входной является функция, изменяющаяся по линейному закону:

или

Дискретное преобразование Лапласа указанного сигнала:

С учетом этого кинетическая ошибка будет равна:

Моделирование Импульсной САУ в Matlab (Simulink)

Смоделируем импульсную систему в Matlab (Simulink). Схема модели представлена на рис. 19, а переходная функция - на рис.20.

Рис.19

Рис.20

Сравнение рис.18 и 20 показывает, что сигналы на выходе системы в дискретные моменты времени совпадают, что подтверждает правильность расчетов.

1. Варианты расчетных заданий

Для каждого из указанных в таблице 2 вариантов необходимо:

1. Преобразовать исходную структурную схему к типовому виду (Рис. 7); определить непрерывную передаточную функцию приведенной непрерывной части разомкнутой импульсной системы ;

2. По найти дискретную передаточную функцию разомкнутой импульсной системы;

3. Построить годограф разомкнутой импульсной САУ:

1. По выражению ;

2. По выражению годографа

Период работы импульсного элемента Т_и=0,01с

4. Оценить устойчивость замкнутой импульсной САУ и найти предельный коэффициент усиления:

1. По критерию Найквиста;

2. По критерию Гурвица;

3. По корням характеристического уравнения

5. Построить переходной процесс для замкнутой импульсной САУ (относительно выходного сигнала Xp(t).

6. Определить статическую и кинетическую ошибки замкнутой импульсной САУ (относительно сигнала y(t).

7. Провести сравнение расчетных результатов с данными, полученными моделированием в Matlab (Simulink).

Таблица 2

№ п/п	Схема САУ № рис.	ТипИЭ		Передаточные функции звеньев, входящих в состав САУ
		№		W1(p)	W2(p)	W3(p)	W4(p)
1	1а	6а	0				–
2	1а	6а	0		10		–
3	1а	6а	0		10		–
4	1а	6а	0				–
5	1б	6а	0		2		–
6	2б	6а	0				–
7	2б	6а	0		2		–
8	2б	6а	0		7		–
9	1в	6а	0		10		–
10	1в	6а	0		10		–
11	1в	6б	0		2		–
12	1б	6б	Ти				–
13	1б	6б	Ти				–
14	2б	6б	0		2		–
15	2б	6б	Ти				–
16	2б	6б	0	10			–
17	1а	6б	Ти				–
18	1а	6б	0				–
19	1а	6б	Ти			Продолжение Таблицы 2	–
20	1а	6б	Ти				–
21	1в	6а	0				–
22	1в	6б	Ти			5	–
23	1в	6б	0				–
24	1в	6а	0		2		–
25	2а	6а	0		10		–
26	2а	6б	Ти				–
27	2а	6а	0				–
28	2а	6а	0		2		–
29	2а	6а	0				–
30	2а	6а	0		2		–
31	2а	6а	0			10	–
32	2а	6б	0				–
33	2б	6а	0		5		–
34	2б	6б	0				–
35	2б	6а	0				–
36	2б	6б	0				–
37	2б	6а	0		5		–
38	2б	6б	Ти	8	Продолжение Таблицы 2		–
39	2б	6а	0				–
40	2б	6б	0		4		–
41	2в	6а	0				–
42	2в	6б	Ти				–
43	2в	6а	0				–
44	2в	6б	Ти				–
45	2в	6а	0				–
46	2в	6б	Ти				–
47	2в	6а	0	10			–
48	2в	6б	0				–
49	3а	6а	0				–
50	3а	6б	0				–
51	3а	6а	0				–
52	3а	6б	0				–
53	3а	6а	0				–
54	3а	6б	0				–
55	3а	6а	0		2		–
56	3а	6б	Ти			10	–
57	1а	6а	0			Продолжение Таблицы 2	–
58	1а	6б	0		10		–
59	1а	6а	0		3		–
60	1а	6б	0		2		–
61	1а	6а	0		3		–
62	1а	6б	0				–
63	1а	6а	0				–
64	1а	6б	Ти	10			–
65	3б	6а	0			8	–
66	3б	6б	Ти			10	–
67	3б	6а	0		3		–
68	3б	6б	Ти			10	–
69	3б	6а	0			8	–
70	3б	6б	Ти				–
71	3б	6а	0		4		–
72	3б	6б	Ти				–
73	3в	6а	0				–
74	3в	6б	Ти				–
75	3в	6а	0				–
76	3в	6б	0				–
77	3в	6а	0			Продолжение Таблицы 2	–
78	3в	6б	Ти				–
79	3в	6а	0				–
80	3в	6б	Ти				–
81	4а	6а	0		3
82	4а	6б	Ти		2
83	4б	6а	0
84	4б	6б	0
85	4б	6а	0
86	4б	6б	Ти
87	4б	6а	0		2
88	4б	6б	0
89	1а	6а	0	10			–
90	1а	6б	Ти		10		–
91	1а	6а	0				–
92	1а	6б	0		5		–
93	1а	6а	0				–
94	1а	6б	Ти				–
95	3в	6а	0				–
96	3в	6б	Ти		100		–
97	5а	6а	0	5		Продолжение Таблицы 2
98	5а	6б	0				10
99	5а	6а	0		10
100	5а	6б	Ти			2
101	5а	6а	0			0.5
102	5а	6б	0			15
103	5б	6а	0				–
104	5б	6б	Ти				–
105	5б	6а	0				–
106	5б	6б	Ти				–
107	5б	6а	0	10			–
108	5б	6б	0				–
109	5б	6а	0				–
110	5б	6б	Ти				–
111	5б	6а	0				–
112	5б	6б	0				–
113	5в	6а	0
114	5в	6б	Ти
115	5в	6а	0
116	5в	6б	0				4
117	5в	6а	0	8		Продолжение Таблицы 2
118	5в	6б	Ти			10
119	5в	6а	0				2
120	5в	6б	0			3