Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)
.pdf
280
бочные. В монохроматическом свете дифракционная картина выглядит следующим образом: яркие тонкие линии – главные максимумы на тёмном фоне.
Дифракционная решётка (наряду с ПРИЗМОЙ) служит основой спектральных приборов. Если осветить решётку немонохроматическим светом, то свет разлагается в спектр.
Демонстрация: Дифракционная решётка
4.2.4. Дифракция на круглом отверстии
Пусть точечный источник S излучает сферические монохроматические волны (длина волны λ). На расстоянии a от источника расположена ширма с круглым отверстием, а на расстоянии b от ширмы – экран, где наблюдается дифракционная картина (РИС. 35.8). Радиус кольца R << a, b.
|
λ |
|
R |
|
|
S* |
|
|
|
||
|
|
Oˊ |
O |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
Рис. 35.8
Дифракционная картина будет иметь форму светлых и тёмных концентрических колец. Разберёмся, что будет в центре картины – точке O – минимум или максимум интенсивности?
Разобъём волновой фронт в отверстии на зоны Френеля. Они будут иметь вид колец с центром в точке Oˊ – центре кольца (РИС. 35.9). Легко показать, что радиус m-ой зоны Френеля
r |
|
mλ |
ab |
. |
|
a b |
|||||
m |
|
|
|||
|
|
|
|
Рис. 35.9
(35.3)
Если отверстие открывает чётное число зон Френеля, то в точке O будет наблюдаться дифракционный минимум, если нечётное – то максимум. Из (35.3) следует, что площади всех зон Френеля одинаковы:
S |
1 |
S |
2 |
|
|
|
|
Sn
,
где n – число зон Френеля, открываемых отверстием. По принципу ГюйгенсаФренеля амплитуды колебаний, приходящих в точку O из всех зон Френеля, одинаковы:
E |
E |
2 |
|
1 |
|
|
En
.
Однако, с ростом порядкового номера m зоны Френеля увеличивается угол между нормалью к волновому фронту и направлением на точку O, поэтому E1 > E2 > … >En.
Можно считать, что Em Em 1 Em 1 .
2
281
Суммарная амплитуда колебаний в точке O при полностью открытом волновом фронте (при отсутствии ширмы)
E |
|
E |
|
E |
|
E |
|
E |
|
|
E |
|
|
E |
|
|
E |
|
E |
|
|
E |
|
|
E |
E |
|
|
E |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
5 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Σ |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
n |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0
Мы доказали, что свет распространяется прямолинейно – в точку приходит свет из половины первой зоны Френеля.
|
E |
1 |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0
наблюдения
Если закрыть все зоны Френеля, кроме первой, то амплитуда колебаний в точке O будет равна E1, а интенсивность света
I1
4I0
,
где I0 – интенсивность света при полностью открытом волновом фронте.
Можно создать такую диафрагму, что будут открыты только нечётные или только чётные зоны Френеля (РИС. 35.9). Тогда
E |
Σ |
E |
E |
E |
|
1 |
3 |
5 |
.
Ещё больше интенсивность света в центре экрана можно увеличить, если сдвигать по фазе излучение чётных зон Френеля так, чтобы оно совпадало по фазе с излучением нечётных зон, перекрыв волновой фронт прозрачной пластинкой переменной толщины (РИС. 35.10). (На рисунке n – показатель преломления вещества, из которого изготовлена пластинка.)
λ |
h |
|
O |
||
|
||
|
n |
|
|
Рис. 35.10 |
|
Демонстрация: |
Зонная пластинка |
4.2.5. Разрешающая способность оптических приборов
Разрешающая способность оптического прибора – способность давать раздельное изображение объектов, близко расположенных друг к другу.
Критерий Рэлея (ср. 4.1.4): изображение двух одинаковых точечных источников света ещё можно видеть раздельно, если центральный максимум дифракционной картины от одного источника совпадает с минимумом первого порядка дифракционной картины от второго источника.
Разрешающая способность телескопа
φ 1,22Dλ ,
282
λ – длина волны наблюдения; φ – минимальное угловое расстояние между точечными источниками, видимыми в телескоп раздельно; D – диаметр объектива телескопа.
Разрешающая способность микроскопа
l 4λ ,
l – минимальное расстояние между точечными источниками, видимыми в микроскоп раздельно.
Разрешающая способность дифракционной решётки
R
λ |
mN |
|
λ |
||
|
,
λ – минимальная разность длин волн линий, видимых раздельно при разложении света в спектр на данной дифракционной решётке; m – порядок главного максимума; N – число штрихов (щелей) решётки.
283
Лекция 36
4.3. Поляризация света
4.3.1. Виды поляризации
|
Свет |
|
естественный |
линейно |
частично |
ни одно направление |
поляризованный |
поляризованный |
|
имеется преимущественное |
|
не является |
колебания происходят |
|
преимущественным |
в одном направлении |
направление колебаний |
– степень поляризации
4.3.2. Поляризаторы. Закон Малю
Идеальный поляризатор – устройство, которое пропускает все волны, поляризованные в одном направлении, и совсем не пропускает волны, поляризованные в перпендикулярном направлении. Плоскость колебаний светового вектора
(напряжённости электрического поля E ), которые полностью пропускает поляризатор, – главная плоскость поляризатора.
Пусть на идеальный поляризатор падает линейно поляризо-
ванный свет, амплитуда светового вектора равна |
E0 |
. Угол |
между плоскостью поляризации падающей волны и главной плоскостью поляризатора равен θ (РИС. 36.1). Амплитуда волны, прошедшей поляризатор,
E E0 cosθ .
Так как интенсивность волны I ~ E2, I I0 cos2 θ – закон Малю.
∙
θ
Рис. 36.1
Линейно поляризованный свет можно получить, пропустив естественный свет через поляризатор. Можно поставить за поляризатором второй поляризатор – анализатор и проанализировать поляризацию падающего излучения.
ПРИМЕР
Естественный свет интенсивностью I0 падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, угол между главными плоскостями которых равен θ (РИС. 36.2). Найти интенсивность прошедшего систему света.
Интенсивность света, прошедшего первый поляризатор,
I1 I20
(доказать самостоятельно, что идеальный поляризатор пропускает половину падающего на него естественного света).
284
I0 |
I1 |
I2 |
|
|
|
ПРис. 36.2 А
Интенсивность света, прошедшего второй поляризатор – анализатор, по закону Малю
I2
I |
2 |
cos θ |
|
1 |
|
I0 2
cos2 θ
.
4.3.3. Оптическая анизотропия. Двойное лучепреломление
Оптическая анизотропия – явление зависимости показателя преломления вещества от направления распространения световой волны.
Двойное лучепреломление – раздвоение светового луча, падающего на поверхность кристалла. Обыкновенный луч подчиняется закону Снеллиуса (33.2), а не-
обыкновенный луч – не подчиняется.
Оптическая ось кристалла – направление в оптически анизотропном кристалле, вдоль которого свет распространяется без двойного лучепреломления.
Главная плоскость кристалла – любая плоскость, проходящая через оптическую ось. В обыкновенной волне световой вектор перпендикулярен главной плоскости, а в необыкновенной волне – параллелен.
Явление двойного лучепреломления можно обосновать с помощью принципа Гюйгенса-Френеля.
Демонстрация: Двойное лучепреломление
4.3.4. Методы получения поляризованного света
В основе принципа действия поляризационных устройств лежит одно из следующих явлений:
1.Поляризация света при отражении от границы раздела диэлектриков (закон Брюстера, см. РАЗДЕЛ 3.14.7)
2.Двойное лучепреломление
3.Дихроизм – зависимость коэффициента поглощения от направления колебаний светового вектора
Стопа Столетова – поляризационное устройство, состоящее из нескольких склеенных друг с другом стеклянных пластин. Свет падает на стопу под углом Брюстера (РИС. 36.3); на поверхность каждой из пластин стопы он падает также под углом Брюстера и степень поляризации прошедшего света повышается от пластины к пластине.
Демонстрация: Поляризационные устройства
285
iБр
Рис. 36.3
4.4. Взаимодействие света с веществом
Электроны и ионы, совершая вынужденные колебания под действием света, излучают вторичные электромагнитные волны той же частоты. Средние расстояния между молекулами намного меньше длины когерентности света, поэтому вторичные волны, излучаемые множеством соседних молекул, когерентны. Если среда однородна и изотропна, то в результате интерференции этих волн образуется волна, фазовая скорость которой зависит от частоты, а волновой вектор параллелен волновому вектору падающей волны.
4.4.1. Поглощение света
Поглощение света – уменьшение энергии световой волны при её распространении в веществе. Поглощение света происходит вследствие предобразования энергии световой волны во внутреннюю энергию вещества (или в энергию вторичного излучения, имеющего другой спектральный состав и иные направления распространения).
При линейном поглощении зависимость интенсивности света в веществе от пути l, пройденного световой волной в веществе
(РИС. 36.4),
I I e |
αl |
|
|
0 |
|
– закон Бугера-Ламберта; здесь I0 – интен-
сивность света, падающего на поверхность вещества, α – линейный коэффициент поглощения.
I0 |
I |
l
Рис. 36.4
Коэффициент поглощения в общем случае зависит от свойств среды и от частоты падающего излучения.
4.4.2. Рассеяние света
Рассеяние света – преобразование света веществом, сопровождающееся изменением направления распространения световой волны и проявляющееся как несобственное свечение вещества. Это явление обусловлено вынужденными колебаниями электронов в атомах рассеивающей среды под действием падающего света. Рассеяние света происходит в оптически неоднородной среде (показатель прелом-
ления n ≠ const).
|
286 |
|
Рассеяние |
молекулярное |
в мутной среде |
на флуктуациях плотности |
на инородных частицах |
Рэлеевское рассеяние (размер неоднородности среды r << λ – длина волны света):
I ~ λ 4
– закон Рэлея.
4.4.3. Фазовая и групповая скорости света
В случае, если скорость распространения световой волны (показатель преломления среды) зависит от частоты, имеет смысл вводить разные определения скорости волны.
Фазовая скорость – скорость распространения фазы колебаний:
v |
c |
, |
|
n |
|||
|
|||
|
|
здесь c – скорость света в вакууме.
Групповая скорость – скорость распространения амплитуды колебаний, т. е. энергии:
u
здесь ω – циклическая частота волны, k –
dω |
, |
|
dk |
||
|
||
|
|
волновое число.
Физический смысл имеет групповая скорость. Демонстрация: Фазовая и групповая скорости
Связь фазовой и групповой скорости:
u v λ |
dv |
|
dλ |
||
|
.
Доказательство
По определению
k |
ω |
|
v |
||
|
2π ddkω λ
|
ω kv , dω kdv |
||||||
k |
2π |
, dk |
2π |
dλ ; |
|||
λ |
|
||||||
|
|
|
|
λ2 |
|||
dv v |
2π dλ |
|
|
dv |
|||
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|
|
2π |
|
v λ dλ |
||||
|
|
dλ |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
λ |
|
|
|
|
|
vdk ;
, ч. т. д.
287
4.4.4. Дисперсия света
Дисперсия71 – явление зависимости фазовой скорости волны (показателя преломления) от её частоты (длины волны).
Дисперсия
нормальная |
аномальная |
Аномальная дисперсия сопровождается сильным поглощением света.
Благодаря дисперсии призма разлагает падающий на ней свет в спектр (РИС. 36.5).
λ1, λ2
λ1
λ2 < λ1
Рис. 36.5
Демонстрация: Спектр призмы
4.4.5. Классическая электронная теория дисперсии
Рассмотрим взаимодействие молекулы – диполя с электромагнитной волной циклической частоты ω (РИС. 36.6). Колебания проекции напряжённости электрического поля описываются уравнением
Ex E0 sinωt .
Диполь ориентируется вдоль поля. Диполь не жёсткий: проекция дипольного момента молекулы на направление поля
pex ex ,
здесь e – модуль заряда электрона.
–e |
|
|
e |
||
0 |
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
Рис. |
36.6 |
|
|
Проекция поляризованности вещества на ось x
Px n0ex ,
где n0 – концентрация вещества [см. (21.1)].
С другой стороны, связь векторных характеристик электрического поля
D ε0 E P ,
(36.1)
71 Не следует путать явление дисперсии с физической величиной – дисперсией спектрального прибора (линейной или угловой).
|
|
288 |
|
|
|
|
здесь D |
– электрическое смещение, ε0 – электрическая постоянная. В изотропном |
|||||
диэлектрике |
D ε0εE P , где ε – относительная диэлектрическая проницаемость |
|||||
среды. С учётом (36.1) получим |
|
|
|
|
||
|
|
ε0εEx n0ex ε0εEx |
, |
|||
|
|
ε 1 |
n ex |
. |
(36.2) |
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε E |
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Запишем II закон Ньютона для положительного заряда, входящего в состав молекулы:
me a F ,
me – масса электрона,
a
– ускорение. В проекции на ось x
me x eE0 sinωt kx rx .
(36.3)
В правой части этого равенства первое слагаемое – это проекция силы, с которой электрическое поле действует на заряд e; второе слагаемое – проекция квазиупругой силы, описывающей взаимодействие полюсов диполя; третье слагаемое – проекция силы сопротивления, моделирующей воздействие других молекул; k, r – положительные коэффициенты.
Преобразуем уравнение (36.3) к стандартному виду (17.1)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
eE0 |
sinωt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2βx ω0 x |
m |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
где β |
r |
, ω0 |
|
k |
. Решение этого уравнения имеет вид |
|
|||||||||||||||
2m |
m |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x Asin ωt φ , |
|
|
|
||||||||||
где (см. РАЗДЕЛ 3.13.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A |
|
|
eE |
0 |
|
|
|
|
|
, tgφ |
2βω |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
e |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
ω |
ω |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
ω ω |
|
|
|
4β ω |
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Asin ωt φ |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex |
|
|
|
|
E0 sinωt |
|
|
|
|||||
Эта величина изменяется со временем.
период колебаний T:
x |
|
1 |
t T |
x |
|
1 |
t T |
||||
|
|
dt |
|
|
|
||||||
E |
|
T |
E |
|
T |
|
|
||||
x |
|
t |
x |
|
|
|
t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
cosφ |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
tg2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
φ |
|||||
Нас интересует среднее значение
Asin ωt φ |
dt |
Acosφ |
, |
||||||
|
E |
sinωt |
|
|
E |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ω2 ω2 |
; |
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2 |
ω2 2 4β2ω2 |
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x Ex
за
289
x |
|
e |
|
|
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
ω |
ω |
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
E |
|
|
m |
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
x |
|
|
|
|||||||
|
|
e |
|
ω |
ω |
|
4β ω |
|||
С учётом (36.2) показатель преломления среды
.
|
|
|
n e |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
n |
ε |
1 |
|
|
|
ω |
ω |
||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
ε m |
|
2 |
2 |
2 |
4β |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
e |
|
ω |
ω |
|
|
В отсутствие потерь (при β = 0)
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
n e2 |
. |
||
ε m ω2 |
ω2 |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 e 0 |
|
|
|
График этой функции представлен на РИС. 36.7. При ω
n
β = 0
2 |
2 |
72. |
|
ω |
|
= ω0 наступает резонанс.
1
0 |
ω0 |
ω |
Рис. 36.7
В действительности никаких разрывов, отрицательных значений показателя преломления не наблюдается. Экспериментальная зависимость n(ω) выглядит примерно так, как показано на РИС. 36.8. В областях, где показатель преломления уменьшается с ростом частоты, имеет место аномальная дисперсия. В этих же областях наблюдается сильное поглощение.
В областях аномальной дисперсии возможно n < 1 и фазовая скорость
групповая скорость волны всегда меньше c.
v |
c |
|
n |
||
|
c
. Но
72 Эта величина в общем случае комплексна. Вводятся понятия комплексного показателя преломления и комплексной диэлектрической проницаемости. На графике РИС. 36.7 показана действительная часть n(ω).