Лекция 12. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов

M

¢

| f (z) |<

1+d , d > 0. Тогда Rlim®¥ ò

Ç Im z > 0 ).

f (x ) = 0 ( CR --- полуокружность| z |= R

| z |

¢

CR

Д о к а з а т е л ь с т в о . При R > R0 :

ò f (x )dx

£ ò

Mp R

Mp

| f (x) | ds <

= 1+d

® 0 при R ® ¥.

R

d

C¢

C¢

R

R

R

Замечание.12.1. Если выполнены условия леммы 12.1 при j1<arg z<j2 ,

то

Rlim®¥ ò f (x)dx =

¢

0, где CR --- дуга окружности, лежащая в секторе | z |= R Ç (j1<arg z<j2 ) .

¥

N

ò f (x)dx = 2piåRe s [ f (z), zn ].

-¥

n=1

Д о к а з а т е л ь с т в о. При R > R0

рассмотрим замкнутый контур

¢

R Ç Im z > 0}.

(-R < x < R) ÈCR {|=z |

R

N

По основной теореме теории вычетов

ò f (x)dx + ò f (x)dx = 2piåRes[ f (z), zn ].

-R

C¢

n=1

R

Но по лемме 12.1 правая часть у предела Rlim®¥ ò

f (x)dx = 0

не зависит от R .

¢

Следовательно:

CR

¥

N

ò f (x)dx = 2piåRes[ f (z), zn ].

-¥

n=1

Замечание 12.3. Если

f (x) --- четная функция ( f (-x) = f (x) ) и удовлетворяет условиям

¥

N

теоремы 12.1, то ò f (x)dx = piåRes[ f (z), zn ].

0

n=1

Лемма 12.2 (Жордана). Если

f (z) ÎC ¥ (| z |> R

Ç Im z > 0) за исключением конечного

0

числа изолированных особых точек и f ( z) ® 0

при | z |® ¥ (равномерно

по arg z, 0 £ arg z £ p ),

z Î Im z > 0 , то при a > 0

Rlim®¥ ò eiax f (x )dx = 0,

¢

¢

CR

| z |= R Ç Im z > 0.

где CR --- полуокружность

Д о к а з а т е л ь с т в о . "e > 0

$R "z: | z |> R Þ |

f ( z) |< e . При R > R0

ò eiax f (x)dx

£ ò |eiax f (x ) | ds £ £{x

Reij =x + iy, x

R=cos=j, y

R sin=j, ds Rdj=,

C¢

C¢

R

R

e

iax

= e

ia( x

+iy)

=e

iax

e

-ay

iax

| e

-ay

=e

-aR sinj

} £

, | e=

p

p

p / 2

£ e R

ò

|eiax

| dj

e R= e-aRsinj dj

2e R = e-aR sinj dj <

ò

ò

0

0

0

p / 2

1- e

-aR

< ásinj ³ (2 / p )j ,при 0 £ j £ p / 2ñ < 2e R ò e-aR(2/p )j dj = pe

® 0 при R ® ¥,

a

0

-¥

n=1

полуплоскости Im z³0) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . При R > R0 рассмотрим замкнутый контур

¢

{|=z | R Ç Im z > 0}.

(-R < x < R) ÈCR

По основной теореме теории вычетов

R

N

ò eiax f (x)dx + ò eiax f (x )dx = 2piå Res[eiaz f (z), zn ].

-R

C¢

n=1

R

¢

CR

(правая часть не зависит от R ), следовательно:

¥

N

ò eiax f (x)dx = 2piåRes[eiaz f (z), zn ]. óò

-¥

n=1

¢

¢

3) Существует

M > 0, a > 0 : | f (t) |< Me

, t < ¥

( f (t) --- функция ограниченной степени роста, inf a¢ = a --- показатель

степени роста).

Класс А(а) --- класс функций ограниченной степени роста.

Замечание. f (t) = t

n

Î A(0) для a = 0,

т.к.

t

n

< Me

a¢t

¢

для любого a > 0.

f (t) = exp(2t2 ) Î/

A(a) для любого a.

Определение 13.1. Преобразованием Лапласа функции f (t)

класса A(a) называется

функция комплексной переменной F ( p), определяемая соотношением

¥

F ( p) = òe- pt f (t)dt.

0

Если существует F ( p) , то f (t) B F ( p) ;

f (t)

--- оригинал, F ( p) --- изображение.

Простейщей функцией - оригиналом является единичная функция Хевисайда

ì0,

t < 0,

h(t) = í

t > 0.

î1,

«гасит» эту функцию при t < 0 и оставляет

Очевидно, умножение функции f (t) на h(t)

без изменения при t > 0, Если функция

f (t) удовлетворяет условиям 2) и 3) , но не

интеграл сходится равномерно по p .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем "x > a;

Re p = x > a¢ > a.

Очевидно, |

¢

f (t) |< Mea t .

¥

¥

M

òe- pt f (t)dt

< M òe- xt ea¢t dt =

. Следовательно, при Re p = x > a¢ существует F ( p).

x - a¢

0

0

Существование доказано.

Для доказательства равномерной сходимости интеграла по параметру p в области

Re p ³ x0

> a можно воспользоваться достаточным мажорантным признаком

Вейерштрасса. Так как |

¢

то всюду в области Re p ³ x0

> a , причем

f (t) |< Mea t , x0 > a¢ > a,

мажоранта не зависит от p

Замечание. Вспомогательный параметр a¢

потребовался для доказательства, чтобы

включить в рассмотрение функции класса A(0).

Теорема 13.2. В области Re p>a ( f (t)ÎA(a) ) F ( p)ÎC¥ (Re p>a). }

Свойства изображений

1

¥

1

; h(t) B=1

1. 1 B

; F ( p) = òe- pt dt

, Re p > 0.

p

0

p

p

1

¥

¥

1

2. e p0t B

; F ( p) = òe p0t e- pt dt =òe-( p- p0 )t dt =

.

p - p0

0

0

p - p0

3. Свойство линейности

Пусть f (t) =&

F ( p) и g(t) =& G( p) . Тогда

a f (t) + b g(t) B a F ( p) + bG( p),

где

a, b = const.

sin wt =

eiwt

- e-iwt

1

(

1

-

1

)

=

w

,

B

2

+w2

2i

2i p -iw p + iw p

coswt =

eiwt

+ e-iwt

1

(

1

+

1

)

=

p

,

B

ì0,

t < 0,

2

2

2i

2i p -iw p + iw p +w h

w

(t) = í

t > 0.

shwt

B

,

î1,

p2 -w2

chwt

B

p

.

p2 -w2

4.Теорема 13.3 (подобия). Пусть

f (t) - функция - оригинал. Тогда для любого a > 0

f (at) B

1

F (

p

)

a

a

¥

æat = =y = t

0, t ¥

ö

1

¥

1

Действительно: f (at)

ò

f (at)e- pt dt

ò

f ( y)e=- py dy

F ( p) /

=

=

=

÷

&

ç

= =dy=y 0. y ¥

a

a

0

èadt

ø

0

5. Теорема 13.4

(запаздывания). Пусть f (t) - функция - оригинал. Тогда для любого

t > 0

функция

ì0,

t <t,

f (t -t ) = í

имеет изображение e- pt F ( p).

î f (t -t ), t > 0.

Пример: изображение прямоугольного импульса:

f (t) = {0, t <t1; 1, t2 < t <t1; 0, t >t2}; F ( =p)

1

(e- pt1

- e- pt2 ).

p

6. Теорема 13.3 (смещения). Пусть

f (t) - функция - оригинал. Тогда для любого

комплексного p0

e p0t f (t) B F ( p - p0 ).

7. Дифференцирование оригинала.

Пусть

f (t) ÎC[0; ¥] и имеет конечную производную f

¢

¢

(t) , причем f (t), f

(t) Î A(a). Пусть

f (t) B F ( p). Тогда

¥

¥

t

t

j(t) = ò f1(t ) f2 (t -t )dt

ò f1=(t -t ) f2 (t )dt Î A(a), a = max(a1, a2 );

0

0

¥

t

¥

¥

¢

j(t) B òe

- pt

ò f1

(t ) f2

(t -t=)dt dt áRe p > añ = = ò

f1 (t )òe

- pt

f2

(t -t=)dt dt

át -t=

t ñ =

0

0

0

t

¥

ì

- pt

ü

¥

¥

F ( p) = òe

- pt

ïu = e

;

dv = sin tdt;

ï

= -e

- pt

cos t

- ò pe

- pt

cos tdt =

sin tdt = í

- pt

ý

0

ï

dt;

ï

0

0

îdu = - pe

v = - cos t;þ

¥

ì

- pt

ü

¥

¥

= 1 - pòe

- pt

ïu = e

;

dv = cos tdt;

ï

= 1

- pe

- pt

sin t

-

p

2

òe

- pt

sin tdt.

cos tdt = í

- pt

ý

0

ï

dt;

ï

0

0

îdu = - pe

v = sin t;þ

¥

(1 + p 2 )òe - pt sin tdt = 1

0

¥

1

·

1

ò

e- pt

sin tdt =

;