4.3.4. Принцип минимума усредненного риска

Пусть, как и в п. 4.3.1, на множестве P задана некоторая мера и определен функционал(4.3.2), представляющий собой усред­ненный по этой мере средний риск. Один из возможных принципов предпочтения заключается в выборе правила решения, ми­нимизирующего этот усредненный результат, то есть удовлетворяющего соотношению

. (4.3.8)

Неоднозначность выбора решения при таком подходе связана только с неоднозначностью меры . Последней может быть придана раз­личная трактовка - как невероятностная, так и вероятностная.

Прежде всего можно рассматривать как меру, характеризую­щую значимость последствий от принятия решения в данных условиях, соответствующих конкретному значению. При этом - относи­тельный вес риска принятия решения при условии, что статистические данные задачи описываются распределением, то есть величина, характе­ризующая относительную важность средних потерь в этих условиях. Представление о такой относительной важности обычно всегда имеется, причем часто оно сводится к представлению об одинаковой значимости потерь, которое естественно приводит к тому, что мера соответст­вует равномерному распределению на множествеP .

В то же время формально может рассматриваться (при соот­ветствующей нормировке) как некоторое априорное распределение на множествеP . При такой трактовке задача вновь становится чисто байесовой с распределением вероятности х и , задаваемом плотностью

; . (4.3.9)

Несмотря на полное формальное совпадение результатов примене­ния двух этих трактовок, они глубоко различаются по своей сущности. В первом случае устранение априорной неопределенности достигается приписыванием того или иного веса потерям от принятия решения в различных условиях, соответствующих различным , и для такого взвешивания обычно имеется субъективная и объективная основы. Во втором случае априорная неопределенность устраняется заданием веро­ятностей появления различных. При этом могут быть использованы различные соображения: например, о равных возможностях появления различных(то есть задание равномерного распределения наP ) или более слабое предположение об относительно медленном изменении при переходе от одного элемента множестваP к другому. Наконец, можно задать наименее предпочтительную меру , для которой достигается

, (4.3.10)

то есть использовать при ее задании принцип максимина.

Правило решения , определенное из условия минимума усред­ненного риска (4.3.8), очевидно, обладает следующим свойством:

, (4.3.11)

которое следует из соотношения

. (4.3.12)

и неотрицательности , то есть оно не лучше байесова правила реше­ния при известной статистике (известном). В то же время, как уже отмечалось в п. 4.3.1, этот принцип обеспечивает получение равномерно наилучшего правила решения, если оно существует. То же верно и в от­ношении приближенного равномерно наилучшего правила решения. Принцип минимизации усредненного риска в отличие от минимаксиминного принципа в полной мере использует все данные наблюдениях с учетом их возможной избыточности для устранения неопределенности, связанной с неполным исходным статистическим описанием задачи.