3.2. Уравнение энергии.

Это уравнение выводится аналогично, используя то же рассмотрение накопления теплоты в выделенном элементарном объеме, что и при выводе дифференциального уравнения теплопроводности. Считаем, что внутренние источники тепла отсутствуют. Тогда используем полученное нами ранее уравнение

(4)

В качестве удельной теплоемкости используется с_р, т.к. для потоков в открытых системах процесс считается изобарным. Для плотности теплового потока q используем выражение (1).

Аналогичные выражения получим для y- и z- компонент потока . Подставим соответствующие выражения в (4), считая ρ константой (несжимаемая жидкость):

В полученном выражении последняя скобка для несжимаемой жидкости обращается в нуль, а , и аналогичные выражения для производных по y и по z. Окончательно уравнение энергии получим в виде:

(5).

Понятно, что для его решения требуется задать физические характеристики среды, конфигурацию области потока, начальные и граничные условия, причем как для распределения температуры, так и для поля скоростей.

3.3 Уравнения движения

Уравнения движения среды можно получить, применив второй закон Ньютона к выделенному элементарному объему среды. В зависимости от условий течения на элемент движущейся среды могут действовать различные силы. В нашем рассмотрении учтем три из них: силу тяжести, равнодействующую сил давления на границах выделенного объема и равнодействующую сил внутреннего трения. Для элемента среды с плотностью ρ общий вид второго закона Ньютона:

(6)

С учетом сказанного о действующих силах на границах выделенного элементарного объема (подробное рассмотрение опускаем) получим:

(7)

Это уравнение векторное. Для решения в декартовой системе координат нужно получить его проекции на соответствующие оси координат. Выпишем проекцию уравнения (7) на ось х.

(8)

В уравнениях (7), (8) нужно учесть, что скорость является функцией как времени, так и координат, и поэтому ее зависимость от времени может быть и непосредственной ( ), и косвенной – через зависимость координат от времени ( ). Это справедливо для всех компонент скорости w_x , w_y , w_z . В последнем же выражении Поэтому уравнение (8) будет окончательно записано как

(9)

Аналогичные выражения нужно записать для проекций уравнения движения на оси y ,z. Полученная система из трех уравнений носит название уравнений Навье-Стокса.

3.4. Дифференциальное уравнение теплоотдачи. Закон Ньютона-Рихмана в дифференциальной форме записывается в следующем

виде: (10)

Итак, уравнения (2), (5), (9) и (10) составляют полную систему уравнений конвективного теплообмена, все уравнения которой требуют совместного решения.

Физическое моделирование и основы теории подобия