§ 15. Изображения простейших функций

Единичная функция Хевисайда. Имеем:

Так как при , то

.

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом по теореме запаздывания получим

Экспонента. По теореме смещения

Гиперболические и тригонометрические функции. В силу линейности преобразования Лапласа имеем

;

;

;

.

Степенная функция с натуральным показателем. Положим , где. Тогда при

.

При , поэтому

Отсюда

.

Так как , то

Упражнение 1. Найти, используя теорему смещения, Лаплас-образы оригиналов

Периодические функции. Если оригинал является Т-периодической функцией, то его изображение по Лапласу

(15.1)

Действительно, в этом случае

.

Выполнив замену , в силу периодичностибудем иметь

.

Ряд в правой части последнего равенства представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем Так как при, то ряд сходится, и его сумма равна, откуда и следует доказываемое утверждение.

Пример. Найти Лаплас-образ оригинала с периодомТ = 1).

Решение. Имеем

Следовательно, в силу (15.1)

.

Ступенчатые (кусочно-постоянные) функции. Ступенчатая функция , где, а числаобразуют возрастающую последовательность, может быть представлена в виде

, ,

где

Тогда

Упражнение 2. Найти изображение кусочно-постоянной функции

Импульсные функции. Импульсной функцией будем называть функцию вида

где – функция, определенная для всех

Используя функцию Хевисайда с запаздывающим аргументом, можем записать

.

Введем функции , где. Тогда, и по теореме запаздывания

.

Пример. Найти Лаплас-образ импульсной функции

Решение. Так как

;

;

,

то

.

Дельта-функция Дирака. Рассмотрим семейство ступенчатых импульсных функций

(15.2)

и семейство их изображений по Лапласу

. (15.3)

При семейство функцийрасходится, так как

Введем условную функцию – дельта-функцию Дирака, которую будем считать пределом семейства (15.2):. Таким образом, дельта-функция равна нулю всюду, кроме точки, где она равна.

Изображением дельта-функции условимся считать предел семейства (15.3) при :

.

Далее по определению положим

; .

Можно доказать (и это следует сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:

(15.4)

(15.5)

(15.6)

Выражения (15.5) и (15.6) корректны только при условии непрерывности функции f(t).

Замечание 1. Из утверждения (15.6) следует, что

что полностью соответствует теореме запаздывания.

Замечание 2. В силу (15.4) имеем

.

Таким образом, дельта-функцию формально можно рассматривать как производную единичной функции Хевисайда.

В прикладных дисциплинах дельта-функции широко используются для моделирования ударных сил, сосредоточенных нагрузок и тому подобных явлений.

§ 16. Основные теоремы операционного исчисления

Свертка оригиналов. Сверткой оригиналов иназывается функция

.

Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала и единичной функцииИмеем. Так какприто

. (16.1)

Доказать, что свертка оригиналов – оригинал и что свертка коммутативна, т.е. , следует самостоятельно.

Теорема 1. Если и, то

.

Действительно, по определению (14.3) имеем

,

где D – треугольная область, задаваемая системой неравенств

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

.

Введем вместо t новую переменную . Тогда

,

что и требовалось доказать.

Пример 1. Найти оригинал , если его Лаплас-образ.

Решение. Представим данный Лаплас-образ в виде произведения двух изображений, для которых известны оригиналы:

.

Так как

,

то по теореме 1 имеем

.

Упражнение 1. Доказать, что свертка линейна по каждой компоненте:

,

где а и b – постоянные.

Упражнение 2. Найти свертку функций и .

Интегрирование и дифференцирование оригиналов. Для интегрирования и дифференцирования оригиналов справедливы следующие теоремы.

Теорема 2. Если то.

Для доказательства используем формулу (16.1) и теорему 1. Тогда

.

Теорема 3. Если и– оригиналы и, то

. (16.2)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (16.1) будем иметь

.

Тогда по теореме 1

.

Отсюда , что и требовалось доказать.

Применив формулу (16.2) дважды, получим

и т.д. В частности, если , то, т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения наp.

Дифференцирование и интегрирование изображений. Без доказательства примем следующие свойства преобразования Лапласа:

1. Если – оригинал с показателем роста, то его изображениеимеет в областипроизводные любых порядков.

2. При том же условии пределы, производные и интегралы от в областиможно находить, выполняя соответствующие операции под знаком интеграла (14.3).

Теорема 4. Если , то, т.е.дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на . Действительно, дифференцируя (14.3) по параметруp, получим

.

Справа стоит интеграл Лапласа для функции , следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Применив несколько раз теорему 4, получим

.

Теорема 5. Если – оригиналы и, то

,

т.е. интегрирование изображения в указанных пределах сводится к делению оригинала на . Так как в силу (14.3) имеем , то

.

Поскольку при и, то

.

Рассмотрим функции

.

По теореме 4 имеем

.

Так как , то по теореме 5

.

Точно так же получим

.

Применяя теорему 2, найдем изображение интегрального синуса

.

Следствия из теорем 1-5 приведем с доказательствами.

Следствие 1. Если сходится интеграл

, (16.3)

то

. (16.4)

Из сходимости интеграла (16.3) следует, что изображение непрерывно в замкнутой области. Переходя к пределу в (14.3) при, приходим к требуемому результату.

Следствие 2. Если сходится интеграл , то

.

Так как , то в силу (14.4)

.

Для справедливо равенство

.

Следствие 3. Если – оригиналы, то . Действительно, по теореме 3

. (16.5)

С другой стороны, (см. § 14). Переходя к пределу в (16.5) при, получим требуемый результат.

Следствие 4. Если – оригиналы и существует конечный предел, то

. (16.6)

Исходим из равенства

. (16.7)

В силу (14.4) и теоремы 3

. (16.8)

Из (16.7) и (16.8) получаем (16.6).

Формула (16.6) позволяет исследовать поведение оригиналов при , имея в своем распоряжении только их изображения.

Упражнение. Вычислить несобственный интеграл , где.