а. Основные понятия и определения; б. Методы линеаризации; в. Исследования нелинейных систем
2)Ответить на вопросы теста № 1.
6.1.Основные понятия и определения
Изучаемые вопросы:
•Основные понятия и определения;
•Методы линеаризации;
•Исследования нелинейных систем
Строго говоря, линейных систем в природе не существует, так как характеристики реальных устройств нелинейные и некоторые из них не могут быть линеаризованы, например, характеристика логического элемента. Кроме того, есть системы, например, релейные, адаптивные, в которых принципиально необходимо учитывать нелинейности.
Нелинейной системой называется такая система, в состав которой входит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением. Такое звено называется нелинейным звеном или нелинейным элементом.
Уравнение является нелинейным, если некоторые координаты или их производные по времени входят в уравнение в виде произведений или степени, отличной от первой, а также если коэффициенты уравнения являются функциями некоторых координат или их производных.
При составлении дифференциальных уравнений нелинейных систем сначала составляют дифференциальные уравнения для каждого устройства системы. При этом характеристики устройств, допускающих линеаризацию, линеаризуются. В результате получают систему дифференциальных уравнений, в которой одно или несколько уравнений нелинейные. Устройства, допускающие линеаризацию, образуют линейную часть системы, а устройства, которые не могут быть линеаризованы, составляют нелинейную часть.
158
Путем эквивалентного преобразования структурных схем и нелинейных звеньев большое число нелинейных систем можно представить в виде замкнутого контура с последовательным включением нелинейного элемента (НЭ) и линейной части (ЛЧ), как показано на рис. 6.1.
Рис. 6.1
На рисунке 6.1 приняты следующие обозначения: НЭ - нелинейный элемент; ЛЧ - линейная часть.
Классификация нелинейных элементов и систем. Нелинейные звенья классифицируются по различным признакам. Наибольшее распространение получила классификация по статическим и динамическим характеристикам, так как в системах чаще всего нелинейности приходится учитывать в виде характеристик. Эти характеристики могут быть как однозначными, так и двузначными (петлевыми), симметричными и несимметричными относительно начала координат.
Различают следующие основные типы нелинейных звеньев.
Нелинейные звенья с гладкими криволинейными характеристиками. Примеры таких характеристик приведены на рис. 6.2.
Рис. 6.2
На рис. 6.2, а изображена двузначная гистерезисная (запаздывающая) характеристика. Характеристика (рис. 6.2, б) отображает насыщение или ограничение и соответствует реальному амплитудному усилителю, а характеристика (рис. 6.2, в) - реальному усилителю мощности. Характеристики (рис. 6.2, а и б) −нечетносимметричные, а характеристика (рис. 6.2, в) − четно-симметричная.
Нелинейные звенья с кусочно-линейными характеристиками. Некоторые из таких характеристик представлены на рис. 6.3.
159
Рис. 6.3
Характеристика (рис. 6.3, а) отображает насыщение, характеристика (рис. 6.3, б) − зону нечувствительности, а характеристика (рис. 6.3, в) соответствует звену, обладающему одновременно зоной нечувствительности и насыщением. Характеристика (рис. 6.3, г) позволяет учесть люфт или зазор кинематической передачи.
Релейные звенья − это элементы, которые на своем выходе выдают конечное число фиксированных значений. Три наиболее типовые релейные характеристики изображены на рис. 6.4.
160
Рис. 6.4. Релейные характеристики:
Характеристика (рис. 6.4, а) соответствует идеальному двухпозиционному реле, характеристика (рис. 6.4, б) − трехпозиционному реле с зоной нечувствительности, а характеристика (рис. 6.4, в) − двухпозиционному поляризованному реле.
Кроме того, на рис. 6.4 показано прохождение непрерывного сигнала через соответствующие типы реле. Откуда следует, что коэффициент передачи реле зависит от величины входного воздействия.
Для улучшения динамических свойств систем специально созданы нелинейные звенья с опережающими двузначными статическими характеристиками.
Часто встречаются элементы с несимметричными относительно начала координат статическими характеристиками.
Нелинейные вычислительные звенья, например, множительное, логическое звено и другие.
Различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые - в виде нелинейных дифференциальных уравнений.
Нелинейные системы обычно классифицируются в соответствии с видом входящих в них нелинейных звеньев.
161
Особенности нелинейных систем. Поведение нелинейных систем, при наличии существенных нелинейностей, значительно отличается от поведения их линейных моделей.
1.Выходная величина нелинейной системы непропорциональна входному воздействию; форма реакции системы зависит от величины входного воздействия.
2.Характер процессов в нелинейной системе зависит от величины начального отклонения, вызванного возмущением. В связи с этим для нелинейных систем существуют понятия об устойчивости “в малом”, “в большом”, “в целом”.
Система устойчива “в малом”, если она устойчива при малых (бесконечно малых) начальных отклонениях. Система устойчива “в большом”, если она устойчива при больших (конечных по величине) начальных отклонениях. Система устойчива “в целом”, если она устойчива при любых больших (неограниченных по величине) начальных отклонениях.
3.Для нелинейных систем характерен режим незатухающих периодических колебаний с постоянной амплитудой и частотой (автоколебаний), возникающий в системах при отсутствии периодических внешних воздействий.
4.При затухающих колебаниях переходного процесса в нелинейных системах происходит изменение периода колебаний.
Основные задачи исследования нелинейных систем. Методы исследования. Задачами исследования нелинейных систем являются:
1)отыскание возможных состояний равновесия системы и исследование их устойчивости;
2)определение автоколебаний и анализ их устойчивости;
3)исследование процессов перехода системы к тому или иному установившемуся состоянию при различных начальных отклонениях.
Начало исследования нелинейных систем обычно связано с рассмотрением устойчивости и определением автоколебаний.
Внастоящее время не создано общей теории анализа нелинейных систем. Разработанные методы позволяют решать лишь отдельные нелинейные задачи.
Все инженерные методы исследования нелинейных систем разделяются на две основные группы.
Точные методы, например, метод А.М.Ляпунова, метод фазовой плоскости, метод точечных преобразований, частотный метод В.М.Попова, основаны на точном решении нелинейного дифференциального уравнения, может быть и упрощенного.
162
Приближенные методы, такие как метод гармонической линеаризации, метод статистической линеаризации, основаны на линеаризации нелинейного уравнения системы.
Мощным и эффективным методом исследования нелинейных систем является моделирование, инструментарием которого служит компьютер. В настоящее время многие сложные для аналитического решения теоретические и практические вопросы сравнительно легко могут быть решены с помощью вычислительной техники.
6.2. Прямой метод Ляпунова
Наиболее общие результаты по исследованию устойчивости нелинейных систем могут быть получены по методу А.М. Ляпунова.
При использовании прямого метода Ляпунова, именуемого также второй методой Ляпунова, исследуемая система описывается дифференциальными уравнениями в форме уравнений первого порядка, полагая, что они записаны для переходного процесса в отклонениях всех переменных xi (i = 1, 2, ... , n) от их значений в установившемся процессе при новых постоянных значениях возмущающего f = f0 и задающего g = g0 воздействий. Следовательно, эти уравнения для нелинейной системы n-го порядка будут:
dxdti = Fi(x1,x2,...,xn)
при i = 1, 2, ... , n,
(6.1)
где Fi - нелинейные функции произвольного вида, удовлетворяющие условию
F1 = F2 = ... = Fn = 0 при x1 = x2 = ... = xn = 0, (6.2)
так как в установившемся состоянии все отклонения и их производные равны нулю.
Чтобы исследовать устойчивость по Ляпунову, необходимо подобрать некоторую знакоопределенную функцию V и вычислить производную по времени от этой функции.
Функция V называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области в окрестности начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме начала координат.
Функция V называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.
Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.
Функция Ляпунова и ее производная по времени. Любая функция
163
V = V(x1, x2, ..., xn ),
(6.3)
тождественно обращающаяся в нуль при x1 = x2 = ... = xn = 0, называется функцией
Ляпунова, если в ней в качестве x1, x2, ..., xn
взяты переменные, в которых записа-
ны уравнения (6.1) для этой системы.
Производная от функции Ляпунова (6.3) по времени будет
d V = ∑ ∂ V
× d x i .
(6.4)
n
d t
i = 1
∂ x i
d t
Подставив значения
dxi
(i = 1, 2, ... , n) из уравнений системы (2.1), получим
dt
(6.5)
d V = ∑ ∂ V F (x , x ,..., x
).
d t
n
i = 1∂ x i
i
1 2
n
Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и
сама V, является функцией координат системы
d V
(6.6)
d t = W (x1, x2,..., xn ),
причем согласно свойству (6.2) эта функция W, так же как и сама V, тождественно обращается в нуль при x1 = x2 = ... = xn = 0. Поэтому к ней в одинаковой степени можно применять те же понятия знакоопределенности, знакопостоянства и знакопеременности в некоторой области вокруг начала координат.
Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем: если при заданных в форме (6.1) уравнениях системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова V(x1, x2, ..., xn ), чтобы ее производная по времени W(x1, x2, ..., xn ), тоже была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку V, то данная система устойчива; при знакоопределенной функции W будет иметь место асимптотическая устойчивость.
Теорема Ляпунова о неустойчивости нелинейных систем: если при заданных в форме (6.1) уравнениях системы n-го порядка производная по времени W(x1, x2, ..., xn) от какой-нибудь функции Ляпунова V(x1, x2, ..., xn) окажется знакоопределенной, причем сама функция V в какой-нибудь области, примыкающей к началу координат, будет иметь знак, одинаковый со знаком производной W, то данная система неустойчива.
Замечания к теореме Ляпунова об устойчивости.
1. При заданных в форме (6.1) уравнениях системы выбор функции V неоднозначен, поэтому данная теорема Ляпунова обеспечивает получение достаточных условий устойчивости, которые не всегда будут и необходимыми, т.е. при выполнении условий теоремы система наверняка будет устойчивой, но эти условия могут не охватывать всей области устойчивости системы по параметрам.
164
2. Понятие устойчивости по Ляпунову допускает, что при знакоопределенной функции V производная от нее по времени W была не обязательно знакоопределенной или знакопостоянной, а могла быть и тождественно равна нулю. В результате система хотя и не будет асимптотически приближаться к установившемуся состоянию, но все же будет все время в достаточной близости от него.
Нелинейная система (рис. 6.1) с одним нелинейным элементом с однозначной статической характеристикой
yн = F(σ)
в свободном состоянии может быть представлена в виде замкнутого контура, включающего в себя линейную часть (ЛЧ) и нелинейный элемент (НЭ) (рис. 6.5).
Рис. 6.5
При этом уравнения свободного движения системы (g = 0) будут
dx
i
=
n
a x
+ b
y
п ри i =1,2,..., n;
∑
(6.7)
dt
j = 1
ij
j
i н
y
= F(σ),
н
n
где σ = ∑ ck xk ;
k = 1
aij, bi, ck - постоянные коэффициенты.
Тогда задача исследования нелинейной системы (6.7) по Ляпунову сводится к определению функции V и ее производной
n
∂ V
n
F(σ)] .
(6.8)
W = ∑
[ ∑
a
ij
x
j
+ b
i =1∂ xi
j = 1
i
А.И.Лурье предложил функцию Ляпунова выбирать в виде суммы функции квадратичной формы L(x) и интеграла от нелинейной функции F(σ) рассматриваемой системы
σ
(6.9)
V = L(x) + ∫ F(σ)d σ,
0
где
n
2i .
L(x) = ∑αi x
i=1
165
Нелинейная система называется абсолютно устойчивой, если она устойчива при любых начальных отклонениях и любой форме нелинейной характеристики, удовлетворяющей условиям:
0 ≤
F(σ)
≤ k; F(0) = 0,
(6.10)
σ
где k - заданное число.
6.3. Частотный метод В.М. Попова
Частотный метод В.М. Попова решает задачу об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной нелинейностью, заданной предельным значением коэффициента передачи k нелинейного элемента.
Если в системе управления (рис. 6.5) имеется лишь одна однозначная нелинейность
yн = F(x),
(6.11)
то, объединив вместе все остальные звенья системы в линейную часть, можно получить ее передаточную функцию Wлч(s).
Нелинейность yн = F(x) имеет любое очертание, не выходящее за пределы заданного угла arctg k (рис. 6.6), т.е. при любом x
0 ≤ F(x) ≤ kx.
(6.12)
yн
x
yн
arctg k
НЭ
x
yн = F(x)
а)
б)
Рис. 6.6
На рисунке 6.6, а показан нелинейный элемент; на рисунке 6.6, б - статические характеристики.
Теорема В.М. Попова: для установления абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число q, при котором для всех частот ω ≥ 0
Re[(1+ jωq)WЛЧ(jω)] +
1
> 0,
(6.13)
k
где k - предельное значение коэффициента передачи нелинейного элемента;
166
WЛЧ(jω) - амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы.
Все полюсы передаточной функции линейной части системы должны быть с отрицательными вещественными частями или же кроме них имеется еще не более двух нулевых. При наличии одного нулевого полюса требуется еще, чтобы
Im WЛЧ(jω) → −∞ при ω → 0,
а при двух нулевых полюсах
Re WЛЧ(jω) → −∞ при ω → 0, а Im WЛЧ(jω) < 0 при малых ω.
Другая формулировка той же теоремы, дающая удобную графическую интерпретацию, связана с введением видоизмененной частотной характеристики линейной части системы W*(jω), которая определяется следующим образом:
U
*
(jω) = Re
W
*
(jω) = Re Wлч
(jω),
(6.14)
V*(jω) = Im W*(jω) =ω T Im W
лч
(jω),
0
где T0 = 1 с - нормирующий множитель. Преобразовав левую часть неравенства (6.13)
Re[(1+ jωq)WЛЧ(jω)] + 1k = Re WЛЧ(jω) − ωq Im WЛЧ(jω)] + 1k
и использовав соотношения (6.14), получим вместо (6.13) для теоремы В.М. Попова условие
U*(ω) −
q
V*(ω) +
1
> 0
(6.15)
T 0
k
при всех ω ≥ 0. Очевидно, что равенство
U*(ω) −
q
V*(ω) +
1
= 0
(6.16)
T 0
k
представляет собой уравнение прямой на плоскости W*(jω). Эта прямая, называемая прямой Попова, проходит через точку с координатами [−1/k, j0] и имеет угловой коэффициент наклона к оси абсцисс 1/q.
Отсюда вытекает графическая интерпретация теоремы В.М.Попова: для установления абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на комплексной плоскости W*(jω), проходящую через точку
(− 1k , j0), чтобы вся кривая W*(jω) лежала справа от этой прямой.
Условия выполнения теоремы показаны на рис. 6.7.
167
а)
б)
Рис. 6.7
На рис. 6.7, а приведен случай абсолютной устойчивости нелинейной системы при любой форме однозначной нелинейности, ограниченной лишь условием (6.12), а рис. 6.7, б соответствует случаю невыполнения теоремы, т.е. нелинейная система не имеет абсолютной устойчивости.
Таким образом, для определения абсолютной устойчивости нелинейной системы по методу В.М. Попова необходимо построить видоизмененную частотную характеристику линейной части системы W*(jω), определить предельное зна-
чение коэффициента передачи k нелинейного элемента из условия 0 ≤ F(x) ≤ k и че-
x
рез точку (− 1k ) на вещественной оси комплексной плоскости провести некоторую
прямую так, чтобы характеристика W*(jω) лежала справа от этой прямой. Если такую прямую провести нельзя, то это значит, что абсолютная устойчивость для данной системы невозможна. Величина q, связанная с угловым коэффициентом, при этом определяется из условия (6.15) так, чтобы при известных параметрах системы неравенство соблюдалось для всех частот. Очертание нелинейности может быть неизвестным. Необходимо знать лишь, в пределах какого угла arctg k (рис. 6.6, б) она расположена. Для конкретно заданных форм нелинейности область устойчивости будет несколько шире, но данным методом это не определяется.
Дополнение: неравенство (6.13) является так же достаточным условием абсолютной устойчивости нелинейной системы и при k → ∞.
6.4. Метод гармонической линеаризации
Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть
168
использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники.
Коэффициенты гармонической линеаризации и эквивалентные комплексные коэффициенты передачи нелинейных элементов. В нелинейной системе (рис. 6.1) параметры линейной части и нелинейного элемента выбирают таким образом, чтобы существовали симметричные периодические колебания с частотой ω.
В основе метода гармонической линеаризации нелинейностей (рис. 6.10), описываемых уравнением
yн = F(x),
(6.17)
лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой ω и амплитудой a, т.е.
x = a sin ψ, где ψ = ωt,
(6.18)
а из всего спектра выходного сигнала выделяется только первая гармоника
yн1 = aн1 sin(ψ + ψн1),
(6.19)
где aн1 - амплитуда а ψн1 - фазовый сдвиг;
при этом высшие гармоники отбрасываются и устанавливается связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента.
x
2 π/ω
yн
a
t
x
yн
aн1
yн
t
ψн1
yн1
Рис. 6.8
В случае нечувствительности нелинейной системы к высшим гармоникам нелинейный элемент может быть в первом приближении заменен некоторым элементом с эквивалентным коэффициентом передачи, который определяет первую гармонику периодических колебаний на выходе в зависимости от частоты и амплитуды синусоидальных колебаний на входе.
169
Для нелинейных элементов с характеристикой (6.17) в результате разложения периодической функции F(x) в ряд Фурье при синусоидальных колебаниях на входе (6.18) получим выражение для первой гармоники сигнала на выходе
yн1 = b1F sinψ + a1F cosψ, (6.20)
где b1F, a1F - коэффициенты разложения в ряд Фурье, определяющие амплитуды соответственно синфазной и квадратурной составляющих первой гармоники, которые определяются по формулам:
1
2π
1
2π
b1F =
∫F(asin ψ ) sin ψ dψ,
a1F =
∫F(asin ψ )cos ψ dψ.
π
π
0
0
Так как
px = aω cos ψ,
где p = d/dt,
то связь между первой гармоникой периодических колебаний на выходе нелинейного элемента и синусоидальными колебаниями на его входе можно записать в виде
yн1
= [q + q ′
p
] x,
(6.21)
ω
где q = b1F/a, q′ = a1F/a.
Последнее уравнение называется уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты q и q′ - коэффициентами гармонической линеаризации.
Таким образом, нелинейный элемент при воздействии гармонического сигнала с точностью до высших гармоник описывается уравнением (6.21), которое является линейным. Это уравнение нелинейного элемента отличается от уравнения линейного звена тем, что его коэффициенты q и q′ изменяются при изменении амплитуды a и частоты ω колебаний на входе. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного элемента.
Для различных видов нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации сведены в таблицу. В общем случае коэффициенты гармонической линеаризации q(a, ω) и q′(a, ω) зависят от амплитуды a и частоты ω колебаний на входе нелинейного элемента. Однако, для статических нелинейностей эти коэффициенты q(a) и q′(a) являются функцией только амплитуды a входного гармонического сигнала, а для статических однозначных нелинейностей коэффициент q′(a) = 0.
170
Подвергнув уравнение (6.21) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора s на jω (s = jω), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента
WЭ(jω, a) = q + jq′ = AЭ(ω, a) e jψэ(ω, a),
(6.22)
где модуль и аргумент эквивалентного комплексного коэффициента передачи связаны с коэффициентами гармонической линеаризации выражениями
AЭ(ω, a) = mod WЭ(jω, a) = [q(a,ω)]2 + [q ′(a,ω)]2 ;
ψЭ(ω, a) = arg WЭ(jω, A) = arctg[q′(a, ω)/q(a, ω)].
Эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента позволяет определить амплитуду и фазовый сдвиг первой гармоники (6.19) на выходе нелинейного элемента при гармоническом воздействии (6.18) на его входе, т.е.
aн1 = a×AЭ(ω, a); ψн1 = ψЭ(ω, a).
Исследование симметричных периодических режимов в нелинейных системах. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой ω0 и амплитудой a0.
Рассмотрим нелинейную систему (рис. 6.5), включающую в себя линейную часть с передаточной функцией
W
лч
(s) =
B(s)
=
b0sm + b1sm−1 + ... + bm
(6.23)
A(s)
a0s
n
+ a1s
n− 1
+ ... + a n
и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи
WЭ(jω, a) = q(ω, a) + jq′(ω, a) = AЭ(ω, a) e jψэ(ω, a). (6.24)
Принимая во внимание выражение (6.21), можно записать уравнение нелинейной системы
{A(p) + B(p)×[q(ω, a) + q ′(ω, a)
p
]}x = 0.
(6.25)
ω
Если в замкнутой нелинейной системе возникают автоколебания
x= a0 sin ω0t
спостоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеари-
зации оказываются постоянными, а вся система стационарной. Для оценки воз-
171
можности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалась при анализе устойчивости линейных систем. Периодическое решение существует, если при a = a0 и ω = ω0 характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы
A(p) + B(p)×[q(ω, a) + q ′(ω, a)
p
] = 0
(6.26)
ω
имеет пару мнимых корней λi = jω0 и λi+1 = −jω0. Устойчивость решения необходимо оценить дополнительно.
В зависимости от методов решения характеристического уравнения различают методы исследования нелинейных систем.
Аналитический метод. Для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний в гармонически линеаризованный характеристический полином системы вместо p подставляют jω
D(jω, a) = A(jω) + B(jω)×[q(ω, a) + jq′(ω, a)]. (6.27)
В результате получают уравнение D(jω, a) = 0, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима. Выделив вещественную и мнимую части
Re D(jω, a) = X(ω, a);
Im D(jω, a) = Y(ω, a),
получим уравнение
X(ω, a) + jY(ω, a) = 0.
(6.28)
Если при действительных значениях a0 и ω0 выражение (6.28) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываются по следующей системе уравнений:
X(ω0
, a0 ) = 0;
(6.29)
Y(ω
0
, a ) = 0.
0
Из выражений (6.29) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (6.29) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. эти уравнения записать в виде:
X(ω0, a0, k) = 0;
(6.30)
Y(ω
0
, a , k) = 0.
0
172
По графикам a0 = f(k), ω0 = f(k) можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.
Частотный метод. В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда ампли- тудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами [−1, j0]. Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованный нелинейной системе, т.е.
Wн(jω, a) = −1.
(6.31)
Так как линейная и нелинейная части системы соединены последовательно,
то частотная характеристика разомкнутой нелинейной системы имеет вид
Wн(jω, a) = Wлч(jω)×WЭ(jω, a).
(6.32)
Тогда в случае статической характеристики нелинейного элемента условие (6.31) принимает вид
Wлч(jω) = −
1
.
(6.33)
Wэ(a)
Решение уравнения (6.33) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы Wлч(jω) и годографа обратной характеристики нелинейной части Wэ−1(a) , взятой с обратным знаком (рис. 6.9). Если эти го-
дографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.
Im
ω 5
α1
ω → ∞
ω =0 Re
ω 4
α
2
(ω 0,α 0)
α 3
ω 1
W ЛЧ(jω)
−
1
α 4
ω 3
ω 2
WЭ (a )
α 5
Рис. 6.9
173
Для устойчивости автоколебательного режима с частотой ω0 и амплитудой a0 требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части −Wэ−1(a) , соответст-
вующая увеличенной амплитуде a0+ a по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы и охватывалась точка, соответствующая уменьшенной ам-
плитуде a0− a.
На рис. 6.9 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания, так как a3 < a0 < a4 .
Исследование по логарифмическим частотным характеристикам.
При исследовании нелинейных систем по логарифмическим частотным характеристикам условие (6.31) переписывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентного комплексного коэффициента передачи разомкнутой нелинейной системы
mod Wлч(jω)Wэ(jω, a) = 1;
arg Wлч(jω)Wэ(jω, a) = − (2k+1)π, при k=0, 1, 2, ...
с последующим переходом к логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам
Lлч(ω) + Lэ(ω, a) = 0;
(6.34)
ψлч(ω) + ψэ(ω, a) = − (2k+1)π, при k=0, 1, 2, ...
(6.35)
Условия (6.34) и (6.35) позволяют определить амплитуду a0 и частоту ω0 периодического решения уравнения (6.25) по логарифмическим характеристикам линейной части системы Lлч(ω), ψлч(ω) и нелинейного элемента Lэ(ω, a), ψэ(ω, a).
Автоколебания с частотой ω0 и амплитудой a0 будут существовать в нелинейной системе, если периодическое решение уравнения (6.25) устойчиво. Приближенный метод исследования устойчивости периодического решения заключается в том, что исследуется поведение системы при частоте ω = ω0 и значениях амплитуды a = a0 + a и a = a0 − a, где a > 0 - малое приращение амплитуды. При исследовании устойчивости периодического решения при a0 + a и a0 − a по логарифмическим характеристикам пользуются критерием устойчивости Найквиста.
В нелинейных системах с однозначными статическими характеристиками нелинейного элемента коэффициент гармонической линеаризации q′(a) равен ну-
174
лю, а следовательно, равен нулю и фазовый сдвиг ψэ(a), вносимый элементом. В этом случае периодическое решение уравнения системы
[A(p) + B(p)×q(a)]x = 0 (6.36)
существует, если выполняются условия:
Lлч(ω) = − Lэ(a);
(6.37)
ψлч(ω) = − (2k+1)π, при k=0, 1, 2, ...
(6.38)
Уравнение (6.38) позволяет определить частоту ω = ω0 периодического решения, а уравнение (6.37) − его амплитуду a = a0.
При сравнительно простой линейной части решения этих уравнений могут быть получены аналитически. Однако в большинстве случаев их целесообразно решать графически (рис. 6.12).
При исследовании устойчивости периодического решения уравнения (6.36), т.е. при определении существования автоколебаний в нелинейной системе с однозначной нелинейной статической характеристикой пользуются критерием Найквиста: периодическое решение с частотой ω = ω0 и амплитудой a = a0 устойчиво, если при изменении частоты от нуля до бесконечности и положительном приращении амплитуды a > 0 разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов фазовой характеристики линейной части системы ψлч(ω) через линию −π равна нулю в диапазоне частот, где
Lлч(ω)≥−Lэ(ω0,a0+ a), и не равна нулю в диапазоне частот, где
Lлч(ω)≥−Lэ(ω0,a0− a).
На рис. 6.10 показан пример определения периодических решений в нелинейной системе с ограничением. В такой системе имеются три периодических решения с частотами ω01, ω02 и ω03, определяемыми в точках пересечения фазовой характеристики ψлч(ω) с линией −1800. Амплитуды периодического решения a01, a02 и a03 определяются из условия (6.37) по логарифмическим амплитудным характеристикам нелинейного элемента −Lэ(ω01, a), −Lэ(ω02, a) и −Lэ(ω03, a).
175
L,дб
Lлч(ω)
−LЭ(a)
Ψ, град
а
а
ω, с-1
0
а03
а02
а01
а
ω
01
ω
ω
03
ω, с-1
0
02
-180
1
Ψлч(ω)
2
Рис. 6.10
Из трех решений, определенных на рис. 6.10, устойчивы два. Решение с частотой ω = ω01 и амплитудой a = a01 устойчиво, так как в диапазоне частот 1, где Lлч(ω)≥−Lэ(ω01,a01+ a), фазовая характеристика ψлч(ω) не пересекает линию −1800, а в диапазоне частот 2, где Lлч(ω)≥−Lэ(ω01,a01− a), фазовая характеристика ψлч(ω) один раз пересекает линию −1800. Решение с частотой ω= ω02 и амплитудой a = a02 неустойчиво, так как в диапазоне частот, где Lлч(ω)≥−Lэ(ω02,a02+ a), фазовая характеристика ψлч(ω) один раз пересекает линию −1800. Высокочастотное периодическое решение с частотой ω = ω03 и амплитудой a = a03 устойчиво, так как в диапазоне частот, где Lлч(ω)≥−Lэ(ω03,a03+ a), имеется один положительный и один отрицательный переход фазовой характеристики ψлч(ω) через линию −1800, а в диапазоне частот, где Lлч(ω)≥−Lэ(ω03,a03− a), имеются два положительных и один отрицательный переход фазовой характеристики ψлч(ω) через линию −1800.
В рассмотренной системе при малых по величине возмущениях установятся высокочастотные автоколебания с частотой ω03 и амплитудой a03, а при больших по величине возмущениях − низкочастотные автоколебания с частотой ω01 и амплитудой a01.
6.5. Методы фазового пространства
Методы фазового пространства относятся к наиболее ранним точным аналитическим методам теории нелинейных систем. К ним относится метод фазовой плоскости и метод точечных отображений или преобразований.
176
Фазовым пространством называется пространство, по осям координат которого отложены переменные, характеризующие состояние динамической системы. Если движение системы описывается дифференциальным уравнением n-го порядка, то состояние этой системы в любой момент времени можно характеризовать некоторой точкой n-мерного фазового пространства, по осям которого отложены одна из координат системы и (n-1) ее производных. Точка, характеризующая состояние системы, называется изображающей точкой.
При движении системы изображающая точка описывает в фазовом пространстве некоторую кривую, называемую фазовой траекторией. Каждому определенному переходному процессу в фазовом пространстве соответствует определенная фазовая траектория. Начальное положение изображающей точки определяется начальными условиями. В установившемся равновесном состоянии системы все производные рассматриваемой переменной равны нулю; соответствующие этому точки фазового пространства находятся в покое и называются особыми точками. Совокупность фазовых траекторий для всевозможных начальных отклонений называется фазовым портретом системы.
Имея фазовый портрет системы, определяют по нему особые точки и траектории, исследуют устойчивость системы и оценивают качество процесса управления.
Метод фазовой плоскости используется для исследования систем второго порядка и заключается в построении фазовых портретов на плоскости. Для этого из уравнений состояния исключается время и определяются уравнения фазовых кривых. Задача становится достаточно простой, если рассматривается система с кусочно-линейной характеристикой нелинейного элемента. В этом случае в разных областях фазовой плоскости система описывается линейными уравнениями, в соответствии с которыми строятся фазовые траектории, которые в дальнейшем “сшиваются” по линиям переключения, определяемым видом нелинейной характеристики.
При исследовании нелинейных систем высокого порядка их аппроксимируют системами второго порядка с эквивалентным запаздыванием.
Для изображения процессов на фазовой плоскости нелинейное уравнение, описывающее систему, заменяют эквивалентными уравнениями первого порядка вида
dy
= f (x,y);
(6.39)
d t
dx
dt = y,
177
где x, y - координата системы и ее первая производная; f(x, y) - нелинейная функция.
Разделив первое из уравнений (6.39) на второе, получим дифференциальное уравнение, из которого исключено время t:
dy
=
f (x, y)
.
(6.40)
dx
y
Решение данного уравнения
y = F(x)
(6.41)
определяет уравнение фазовой траектории, которая графически изображается на фазовой плоскости (x, y). Каждой совокупности начальных условий (x0, y0) соответствует свое решение и своя фазовая траектория. Семейство фазовых траекторий характеризует все возможные виды переходных процессов в данной системе управления при любых начальных условиях и образует ее фазовый портрет.
Основные свойства фазовых траекторий вытекают из выражения (6.40):
1)если f(x, y) определена и непрерывна в некоторой области и имеет непрерывные частные производные по своим аргументам, то через всякую точку фазовой плоскости, за исключением особых точек, проходит единственная фазовая траектория. Это означает, что фазовые траектории не пересекаются между собой;
2)так как при y>0 производная dx/dt>0 и x только возрастает, то в верхней фазовой полуплоскости при возрастании времени t изображающая точка движется слева направо. Соответственно в нижней полуплоскости движение происходит справа налево. Направление движения на траекториях показывают стрелками;
3)в точках, где y=0, f(x, y)≠0 (неособых точках на оси абсцисс), фазовые траектории пересекают ось под прямым углом.
Втех случаях, когда решение уравнения (6.40) аналитическими методами затруднительно или невыполнимо, фазовые траектории можно построить приблизительным графическим методом изоклин.
Изоклины представляют собой геометрическое место всех точек фазовой плоскости, для которых наклон фазовой траектории равен постоянному значению сi, то есть dy/dx=ci . Тогда вместо (6.40) можно написать уравнение
f (x, y)
= ci ,
y
из которого получается уравнение изоклины
y = ϕ(x, ci ).
Задавая различные значения сi наклона касательных к фазовым траекториям, пересекающим эти изоклины, строят семейство изоклин, которые используются для построения фазовых траекторий (рис. 6.11). Фазовая траектория в точке
178
пересечения с изоклиной имеет угол наклона arctg сi . В качестве примера на рис. 6.11 на изоклинах отмечены наклоны касательных к пересекающим их траекториям направляющими стрелками и построена фазовая траектория, исходящая из точки А.
y
c0
A
c1
y0
c2
c3
x0
x
Рис. 6.11
Рассмотрим фазовые траектории линейной системы второго порядка, переходный процесс в которой описывается уравнением
d2 x
+ a
dx
+ a
x = 0 .
dt 2
1 dt
2
Введя обозначение для скорости изменения регулируемой величины y = = dx/dt, получим эквивалентные уравнения первого порядка
dx
= y;
dt
dy
= −a y−a
2
x ,
dt
1
откуда, исключив время t, находим дифференциальное уравнение для определения фазовых траекторий
dydx = − a1− a2 xy .
Решение y = F(x) этого уравнения определяет уравнения фазовых траекторий на фазовой плоскости (x, y). Возможные виды фазовых портретов системы, соответствующие корням характеристического уравнения p2 + a1p + a2 = 0, приведены в таблице.
179
Т а б л и ц а
Виды фазовых портретов для линейных систем второго порядка
Корни характеристиче-
Переходный
процесс
Фазовая траектория
ского уравнения
1
2
3
1. a1=0, a2>0
Im
x
t
y
Re
x
особая точка -
центр
2. a12>4a2, a1>0, a2>0
y
Im
x
x
Re
t
особая точка -
устойчивый узел
3. a2<0
y
Im
x
x
Re
t
особая точка -
седло
4. a12<4a2, a1<0, a2>0
y
Im
x
x
Re
t
особая точка -
неустойчивый фокус
5. a12<4a2, a1>0, a2>0
y
Im
x
x
Re
t
особая точка -
устойчивый фокус
6. a12>4a2, a1<0, a2>0
y
Im
x
x
Re
t
особая точка -
неустойчивый узел
180
Вид и расположение фазовых траекторий, а также направление движения по ним изображающей точки дают возможность судить о характере движения системы и его устойчивости при различных начальных отклонениях. Особые точки и их характер определяют состояние равновесия исходной системы.
Реальные автоматические системы можно считать линейными в предположении малости отклонений переменных от их установившихся значений. За пределами указанной области картина фазовых траекторий может стать качественно иной. В частности, если по линейной теории система неустойчивая и процесс расходится, то может оказаться, что из-за фактической нелинейности характеристик он не будет расходящимся неограниченно. Картина фазовых траекторий для такой системы изображена на рис. 6.12,а. Здесь вблизи начала координат получаются спирали, как в неустойчивой линейной системе, но далее они приближаются асимптотически к замкнутому контуру ограниченных размеров. К нему же приближаются и все спирали, находящиеся вне контура. Такого рода замкнутый контур представляет собой особый вид линий на фазовой плоскости и называется устойчивым предельным циклом. Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебаниям системы. Размеры предельного цикла представляют амплитуды колебаний самой величины x и скорости ее изменения y. Для определения периода автоколебаний необходимо решить уравнение системы во времени.
y
y
x
x
а)
б)
y
x
в)
Рис. 6.12
Замкнутые фазовые траектории на фазовой плоскости называются предельными циклами, которые могут быть как устойчивыми (рис. 6.12,а), так и неустойчивыми (рис. 6.12,б). К этим предельным циклам стремятся изображающие точки при различных начальных отклонениях по различным фазовым траекториям.
В различных частях фазовой плоскости фазовые траектории нелинейной системы могут быть различными (рис. 6.12,в). Линии, разделяющие фазовую плоскость на участки с различными фазовыми траекториями, называются сепа-
181
ратрисами. Поведение системы в каждой области фазовой плоскости описывается своим дифференциальным уравнением.
Кроме того, для фазового портрета нелинейных систем с разрывными характеристиками характерно наличие линий переключения, которые также разделяют фазовую плоскость на ряд областей с различными фазовыми траекториями. При этом начальные значения переменных на каждом участке определяются через их конечные значения на предыдущем участке. Линии переключения характеризуются узловыми точками разрывных характеристик нелинейных элементов.
Замечание: координатами (x, y) фазовой плоскости могут служить не обязательно отклонение (ошибка) управляемой величины системы и ее скорость. Для этой цели могут быть взяты любые две переменные, однозначно характеризующие состояние системы второго порядка в произвольный момент времени.
Пример. Изобразим на фазовой плоскости переходный процесс и автоколебания в автоматической системе (рис. 6.1), линейная часть которой задана передаточной функцией
Wлч (s) =
k
,
s(T s+1)
где k - коэффициент передачи; T - постоянная времени,
а нелинейный элемент - статической характеристикой yн = F(x).
Решение. В качестве координат фазовой плоскости выбираем отклонение управляемой величины x и скорость ее изменения y = dx/dt. Запишем для ошибки x дифференциальное уравнение системы, описывающее ее свободное движение
T
d2 x(t)
+
dx(t)
+ kF(x) = 0 ,
(6.42)
dt2
dt
которое заменяем эквивалентными уравнениями первого порядка
dy
d t
= −
1
y−
k
F(x);
(6.43)
T
T
dx
= y.
dt
Разделив первое из уравнений (6.43) на второе, получаем дифференциальное уравнение фазовых траекторий
dy
= −
1
−
k
×
F(x)
,
(6.44)
dx
T
T
y
решение, которого определяется характеристикой нелинейного элемента. Рассмотрим фазовые портреты системы для некоторых типов нелинейных
элементов.
1. Идеальное двухпозиционное реле (рис. 6.4, а) со статической характери-
стикой F(x) = csign(x).
182
Дифференциальное уравнение (6.44) фазовых траекторий в этом случае примет вид
dy
= −
1
−
k
×
c sign(x)
.
(6.45)
dx
T
T
y
Переключение идеального реле происходит при x = 0. Следовательно, линия переключения на фазовой плоскости (рис. 6.13, а) совпадает с осью ординат.
Справа от линии переключения при x > 0 дифференциальное уравнение фазовых траекторий будет
dxdy = −
1
−
kc
.
(6.46)
T
Ty
Его интегрирование дает уравнение фазовой траектории [2]
x = kcT ln y + kc − Ty + c0,
(6.47)
где c0 - постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Каждому конкретному c0 соответствует определенная кривая на фазовой плоскости справа от линии переключения. Эти кривые имеют асимптоту y = −kc.
Слева от линии переключения при x < 0 дифференциальное уравнение (6.45) фазовых траекторий принимает вид
dy
= −
1
+
kc
,
(6.48)
dx
T
Ty
что дает решение
x = −kcT ln y − kc − Ty + c0,
(6.49)
согласно которому наносится семейство фазовых траекторий с асимптотой
y = kc
в левой фазовой полуплоскости.
На рис. 6.13, а изображены фазовые траектории системы для начальных усло-
вий (x0, 0).
y
kc
x0
x
-kc
линия переключения
а)
y
А
а
ум
-b
В
x
С
b
х0
D
предельный
цикл
линия переключения
б)
Рис. 6.13
183
2. Двухпозиционное реле с гистерезисом (рис. 6.4, в) со статической характеристикой
+ c
при
x > + b,
dx
когда
> 0;
F(x) =
при
x < + b,
dt
− c
+ c
при
x > − b,
dx
когда
< 0.
F(x) =
при
x < − b,
dt
− c
Переключение реле с гистерезисом происходит при x = +b, если y > 0 (линия AB на рис. 6.13, б); если же y < 0, то при x = −b (линия CD). Соответственно, линия переключения ABCD на фазовой плоскости (рис. 6.13, б) имеет разрыв.
Справа от линии переключения ABCD справедливо дифференциальное уравнение фазовых траекторий (6.46), а слева − (6.48). Следовательно, фазовые траектории рассматриваемой системы (рис. 6.13, б) строятся аналогично предыдущему случаю.
В данной системе будут наблюдаться устойчивые автоколебания, к которым сходится переходный процесс с обеих сторон, т.е. при любых начальных условиях. Амплитуда автоколебаний изображена на рис. 6.16, б отрезком a; отрезок yM изображает амплитуду скорости. Период автоколебаний определяется решением уравнений во времени.
3. Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности (рис. 6.4, б) со статической характеристикой
0
при
− b ≤ x ≤ + b,
+ c
при
x > + b,
F(x) =
− c
при
x < − b.
Переключение трехпозиционного реле с зоной нечувствительности происходит при x = −b (линия AB фазовой плоскости на рис. 6.14, а) и при x = +b (линия CD). Соответственно, линии переключения AB и CD разделяют фазовую плоскость на на три области (рис. 6.14, а).
Справа от линии переключения CD справедливо дифференциальное уравнение фазовых траекторий (6.46), а слева от линии переключения AB − (6.48). Следовательно, для рассматриваемой системы фазовые траектории в этих областях фазовой плоскости (рис. 6.14, а) строятся аналогично предыдущим случаям.
В средней области при −b ≤ x ≤ +b, соответствующей зоне нечувствительности реле, дифференциальное уравнение (6.44) фазовых траекторий принимает вид
dxdy = −
1
,
(6.50)
T
откуда
1
0
y=−
x+c
,
(6.51)
T
184
согласно которому семейство фазовых траекторий образуется отрезками прямых линий с отрицательным угловым коэффициентом -1/T.
y
y
A
C
A
C
− b
b
x
−b
b
x
x0
x0
B
D
B
D
Линии переключения
Граничные линии
а)
б)
Рис. 6.14
На рис. 6.14, а изображены фазовые траектории системы для начальных условий (x0, 0). Система приходит в положение равновесия при значениях ошибки, определяемой зоной нечувствительности реле.
4. Усилитель с насыщением (рис. 6.3, а) со статической характеристикой
k
у
x при − b ≤ x ≤ + b,
+ c
при
x > + b,
F(x) =
− c
при
x < − b.
Для построения фазовых траекторий нелинейной системы с кусочнолинейной характеристикой нелинейного элемента фазовую плоскость разделяем на области линиями AB и CD (рис. 6.14,б).
Как следует из сравнения статических характеристик нелинейных элементов, фазовые траектории в правой и левой областях фазовой плоскости рассматриваемой системы строятся аналогично предыдущему случаю.
В средней области при −b ≤ x ≤ +b, соответствующей линейному участку характеристики, система становится линейной и дифференциальное уравнение (6.44) фазовых траекторий принимает вид
dy
= −
1
−
kk у
×
x
.
(6.52)
dx
T
T
y
На рис. 6.14, б приведена фазовая траектория системы для начальных условий (x0, 0) в случае ее устойчивости в линейной области.
Метод точечных преобразований (метод Пуанкаре-Андронова) позволяет установить существование автоколебаний в нелинейной системе второго порядка
185
без построения фазовых траекторий. Сущность метода заключается в том, что для исследования динамики системы необходимо выяснить, как в зависимости от начальных условий перемещаются точки пересечения фазовой траектории с некоторой полупрямой, например, отрезком 0X фазовой плоскости (рис. 6.15).
Y
0
x2 x1
x0
X
Рис. 6.15
Возьмем начальное положение изображающей точки (x0, 0) где-нибудь на полуоси 0X. После обхода вокруг начала координат изображающая точка пересекает полуось 0X в точках x1, x2 и т.д. Последовательность точек пересечения фазовой траектории с выбранной полупрямой представляет точечное преобразование полупрямой самой в себя. Задавая различные начальные положения x0i изображающей точки на полуоси 0X, согласно уравнениям системы определяют соответствующие им точки xi на той же полуоси после обхода начала координат. Полученная таким образом зависимость
xi = f(x0i)
(6.53)
называется функцией соответствия и используется для исследования периодических режимов в нелинейных системах.
xi
y
В
x
а1
а2
А
x01
x02
x0i
а
x03
1
а2
Рис. 6.16
186
Для исследования возможных автоколебаний в координатах функции соответствия (рис. 6.16) проводится прямая из начала координат под углом 450 к координатным осям, для которой xi = x0i, что соответствует отображению каждой точки полуоси 0X самой в себя, т.е. после обхода вокруг начала координат точка возвращается в исходное положение. Пересечение кривой xi = f(x0i) с прямой xi = x0i (точки A и B) определяют существование предельного цикла. Если указанная кривая и прямая не пересекаются, то автоколебания невозможны, а если касаются, то имеет место один предельный цикл.
Чтобы определить, какому типу предельного цикла это соответствует, надо взять на оси абсцисс начальную точку x0 сначала слева, а затем справа от точки пересечения и проследить ход точечного преобразования, как показано стрелками на рис. 6.16.
Рис. 6.16 соответствует двум предельным циклам, из которых меньший (точка A) неустойчив, а больший (точка B) устойчив. Следовательно, при начальных условиях (x0, y0), расположенных внутри меньшего предельного цикла, система устойчива, а при всяких других начальных условиях она стремится к установившемуся автоколебательному процессу.
Пересечение кривой xi = f(x0i) с прямой xi = x0i (точки A и B) определяют существование предельного цикла. Если указанная кривая и прямая не пересекаются, то автоколебания невозможны, а если касаются, то имеет место один предельный цикл.
Чтобы определить, какому типу предельного цикла это соответствует, надо взять на оси абсцисс начальную точку x0 сначала слева, а затем справа от точки пересечения и проследить ход точечного преобразования, как показано стрелками на рис. 6.16.
Рис. 6.16 соответствует двум предельным циклам, из которых меньший (точка A) неустойчив, а больший (точка B) устойчив. Следовательно, при начальных условиях (x0, y0), расположенных внутри меньшего предельного цикла, система устойчива, а при всяких других начальных условиях она стремится к установившемуся автоколебательному процессу.
6.6. Коррекция нелинейных систем
При коррекции нелинейных автоматических систем обычно решаются две основные задачи:
обеспечение устойчивости системы;
187
получение автоколебаний с заданной амплитудой и частотой.
Коррекция осуществляется с помощью включения линейных или нелинейных корректирующих устройств, а также компенсацией влияния нелинейностей.
Корректирующие устройства. В качестве линейных корректирующих устройств используются главным образом неединичные главные обратные связи (рис. 6.17, а) и местные обратные связи, охватывающие нелинейные элементы
(рис. 6.17, б).
Нелинейные корректирующие устройства включаются либо последовательно, либо в обратные связи.
При расчете корректирующих устройств структурную схему нелинейной системы необходимо привести к эквивалентной одноконтурной схеме с нелинейным элементом и эквивалентной линейной частью с передаточной функцией для схемы, приведенной на рис. 6.17, а,
Wэлч(s) = Wлч(s) ×Wос(s)
и для схемы, приведенной на рис. 6.17, б,
Wэлч(s) = Wлч(s) + Wмос(s).
Рис. 6.17
Влияние линейного корректирующего устройства на фазовый портрет системы. Рассмотрим систему, представленную на рис. 6.17, а, линейная часть которой задана передаточной функцией
W (s) =
k
,
лч
s(Ts+1)
где k - коэффициент передачи; T - постоянная времени,
188
а нелинейный элемент - статической характеристикой F(σ); у которой в качестве линейного корректирующего устройства включено в главную обратную связь форсирующее звено с передаточной функцией
Wос(s) = (Tос s + 1),
где Tос - постоянная времени.
Передаточная функция эквивалентной линейной части системы будет
Wэлч(s) =
k(Tосs+1)
.
(6.54)
s(Ts+1)
На основании структурной схемы (рис. 6.20,а) и выражения (6.54) свободное движение нелинейной системы (g = 0) можно описать дифференциальным уравнением относительно отклонения σ
(Ts2 + s)σ + k(Tос s + 1)F(σ) = 0, где s=d/dt.
(6.55)
Учитывая, что
σ = −(Tос s + 1)x,
(6.56)
получим дифференциальное уравнение относительно управляемой величины x системы
T
d 2x(t)
+
dx(t)
− kF(σ) = 0 .
(6.57)
dt 2
dt
Для построения фазового портрета в качестве координат фазовой плоскости выбираем управляемую величину x и скорость ее изменения y = dx/dt и уравнение (6.57) заменяем эквивалентными уравнениями первого порядка
dy
1
k
F(σ);
= −
y
+
(6.58)
dt
T
T
dx
dt = y,
откуда дифференциальное уравнение фазовых траекторий будет
dy
= −
1
+
k
×
F(σ)
.
(6.59)
dx
T
T
y
Если нелинейным элементом является усилитель с насыщением (рис. 6.3, а), то для линейного участка характеристики σ ≤ b
F(σ) = kу σ = − kу(Tос s + 1)x
и, следовательно,
dy
= −
1 + kk уTо с
−
kk у
×
x
.
(6.60)
dx
T
T
y
Поскольку для участков насыщения F(σ) = ±c, то вместо (6.59) аналогично (6.46) и (6.48) получим уравнения:
189
dxdy = −
1
−
kc
при σ < −b и (Tос s + 1)x > +b;
(6.61)
T
Ty
dy
= −
1
+
kc
при σ > +b и (Tос s + 1)x < −b.
(6.62)
dx
T
Ty
Так как линейная область на фазовой плоскости определяется неравенствомσ ≤ b и зависимостью (6.56), то уравнения граничных линий можно записать в виде:
Toc y+ x = b
или
y = −
1
(x− b);
Toc
(6.63)
1
T y+ x = − b
или
y = −
(x+ b).
T
oc
oc
Следовательно, граничные линии проходят через точки на оси абсциссx = ±b и являются наклонными прямыми, угол наклона которых зависит от величины постоянной времени звена обратной связи
α = arctg
1
.
(6.64)
Toc
На рис. 6.18, а изображены фазовые траектории и граничные линии для системы при начальных условиях (x0, 0).
Таким образом, при неединичной обратной связи фазовый портрет в зонах насыщения, определяемый уравнениями (6.61) и (6.62), будет таким же, как и при единичной обратной связи. В области линейной части характеристики фазовый портрет системы определяется уравнением (6.60), в котором имеется дополнительный член, обусловленный постоянной времени звена обратной связи Tос. Кроме того, наличие производной в главной обратной связи поворачивает граничные линии, разделяющие фазовую плоскость на области, против часовой стрелки навстречу движению изображающей точки. Угол поворота этих линий тем больше, чем больше постоянная времени Tос; в случае единичной обратной связи (Tос = 0) угол поворота равняется нулю, при этом угол наклона α = 900.
y
y
A
C
A
′
′
A
C
C
b
x
b
x
x0
−b
x0
−b
′
α
α
α
′
′
D
B
D
B
B
D
Граничные линии
Линии переключения
a)
б)
Рис. 6.18
190
Если нелинейный элемент обладает релейной характеристикой, то фазовые траектории в зонах насыщения и нечувствительности определяются такими же уравнениями, как и в случае единичной обратной связи. Однако наличие члена Tосs в передаточной функции звена обратной связи обуславливает поворот линий переключения реле влево соответственно уравнениям (6.63); при этом угол наклона α определяется по формуле (6.64). На рис. 6.18, б показана фазовая траектория и линии переключения для нелинейной системы с трехпозиционным реле с зоной нечувствительности (рис. 6.4, б) при начальных условиях (x0, 0). Поворот линий переключения реле навстречу движению изображающей точки фазовой траектории обеспечивает работу системы с упреждением. Путем подбора постоянной времени Tос можно обеспечить перевод релейной системы в новое состояние за одно включение реле, как показано на рис. 6.4, б, при угле наклона линий переключения, равном α' .
В том случае, когда система имеет неединичную жесткую главную обратную связь вида
Wос(s) = 1 + kос,
(6.65)
имеет место
σ = −(1 + kос)x.
(6.66)
Граничные линии и линии переключения для такой главной обратной связи
определяются уравнениями:
koc x+ x = b
или
x =
b
;
(6.67)
1
+ koc
b
k
x+ x = − b
или
x = −
.
oc
1 + k
oc
Отсюда следует, что неединичная жесткая главная обратная связь вызывает перемещение граничных линий и линий переключения без изменения угла их наклона, что позволяет изменять соотношения между областями с различными фазовыми траекториями на фазовой плоскости, например, изменять область нечувствительности системы при неизменности зоны нечувствительности реле или усилителя.
Компенсация влияния нелинейности. При компенсации нелинейностей нелинейную систему можно рассматривать как линейную относительно определенных входных воздействий.
Компенсирующие нелинейности. Линеаризация заданной нелинейности F(σ) заключается во включении последовательно или параллельно компенсирующего нелинейного элемента с обратной нелинейной характеристикой F-1(σ). При
191
этом получаем эквивалентный линейный элемент. На рис. 6.19 приведен пример линеаризации усилителя с зоной нечувствительности путем включения параллельно с ним усилителя с насыщением.
Рис. 6.19
Если нелинейность F(σ) присутствует в объекте управления ОУ, то линеаризация системы может быть осуществлена путем параллельного включения объекту управления компенсирующей нелинейности F-1(σ) и модели его линей-
ной части Wм лч оу(s) (рис. 6.20).
Рис. 6.20
Вибрационная компенсация нелинейностей заключается в том, что нелинейный элемент приобретает свойства пропорциональности, если на его вход вместе с полезным медленно изменяющимся сигналом g(t) подается высокочастотная периодическая составляющая u(t) (рис. 6.21).
Если на входе нелинейного элемента (рис. 6.21, а, б) с характеристикой F(x) действует полезный медленно изменяющийся сигнал g(t) совместно с несмещенным периодическим сигналом u(t), частота ω которого достаточно велика, чтобы можно было приближенно считать функцию g(t) постоянной в пределах периода
T = 2π/ω (рис. 6.21, б), т.е.
x(t) = g(t) + u(t),
(6.68)
то выходной сигнал можно представить в виде суммы средней, медленно изменяющейся составляющей F1(g) и колебательной функции F2(u), близкой к периодической с частотой ω
yн = F(x) = F[g(t) + u(t)] = F1(g) + F2(u).
(6.69)
192
Среднюю составляющую приближенно можно представить как среднее значение выходного сигнала нелинейного элемента за период
ω
t+π /ω
F [g(t)] ≈
∫
F[g(t) + u(t)]dt .
(6.70)
1
2π t−π /ω
В случае g = const формула (6.70) точная и определяет постоянный член ряда Фурье, составленного относительно выходного сигнала нелинейного элемента, а колебательная функция F2(u) есть сумма гармонических составляющих этого ряда.
Рис. 6.21
Формула (6.70) тем точнее, чем больше частота ω и чем меньше g(t) изменяется в пределах периода T. На рис. 6.21, в представлена характеристика F1(g) для идеального двухпозиционного реле при компенсирующей периодической функции u(t) треугольного вида частоты ω и амплитуды A. Статическая характеристика является линейной для полезного сигнала g(t), изменяющегося в пределах ±A. Коэффициент передачи линейной части определяется как
k
=
C
.
(6.71)
у
A
Таким образом, чем больше амплитуда компенсирующих колебаний A, тем шире зона линейности нелинейного элемента. Однако при этом уменьшается коэффициент передачи линеаризованного элемента.
Статическая характеристика F1(g) может быть получена экспериментальным путем, что позволяет определить значения kу и A.
193
Выходной сигнал нелинейного элемента yн (6.69) поступает на вход линейной части системы. При достаточно большой частоте ω периодического сигнала u(t) линейная часть из-за инерционности не пропускает компенсирующие колебания, поэтому составляющей F2(u) можно пренебречь. Следовательно, для разомкнутой системы (рис. 6.21, а) можно определить передаточную функцию
W(s) = kу Wлч(s).
(6.72)
Это значит, что при задающем воздействии g(t) < A (рис. 6.24, в) для частоты ω компенсирующих колебаний u(t), превышающих частоту среза линейной части системы, нелинейная система может рассматриваться как линейная.
Для формирования высокочастотного сигнала u(t) используется или специальный генератор или собственные колебания системы.
6.7. Скользящие режимы в релейных системах
Скользящим режимом называется режим работы релейной системы, характеризующийся колебательным движением изображающей точки вдоль линии переключения. Чем сильнее воздействие производной в цепи обратной связи, тем больше поворачиваются линии переключения реле против часовой стрелки. При этом интенсивность затухания переходного процесса возрастает. В том случае, когда в точке переключения угол наклона линии переключения становится равным наклону или меньше угла наклона касательной к фазовой траектории, по которой движется изображающая точка после переключения реле, возникают условия существования скользящего режима.
Рассмотрим возникновение скользящего режима в нелинейной системе, изображенной на рис. 6.17, а, с идеальным реле при отсутствии внешнего воздействия и при заданных начальных условиях x0 ≠ 0 и y0 = 0.
Пусть начальное состояние системы задано точкой (x0, 0) (рис. 6.22), от которой изображающая точка перемещается по фазовой траектории типа 1 до встречи с линией переключения AB в точке C. В этой точке происходит переключение реле и изображающая точка будет перемещаться по фазовой траектории типа 2 до точки D. В точке D происходит переключение реле в другую сторону, после чего изображающая точка будет перемещаться по фазовой траектории типа 1. Но как только увеличится результирующий сигнал обратной связи, произойдет переключение реле и изображающая точка будет перемещаться по фазовой траектории типа 2 и так далее, т.е. изображающая точка, подойдя к этому отрезку линии переключения - отрезку скольжения, не сможет уйти с него.
194
Таким образом, изображающая точка, достигнув точки D, непрерывно переходит с траектории типа 1 на траекторию типа 2 и обратно, как бы скользя вдоль линии переключения и асимптотически приближаясь к точке равновесия 0.
Как видно из рис. 6.22, скользящий режим возможен на тех участках, где фазовая траектория типа 2 проходит ниже линии переключения AB (после точки D). При начальном положении изображающей точки (x02, 0) после ее прихода по траектории типа 1 в точку на линии переключения D сразу начинается скользящий режим. При начальном положении изображающей точки (x03, 0) скользящий режим имеет место после переключения реле, когда изображающая точка скользит по линии переключения AB в четвертом квадранте. В последнем случае переходный процесс имеет перерегулирование.
A
y
2
M1
1
M0
C
D
M′0
x03
x01
x0
x02
0
x
M1′
B
Рис. 6.22
Врассматриваемом примере предполагается, что переключение реле происходит мгновенно, в результате частота переключений бесконечно велика, а амплитуда колебаний бесконечно мала. Такой скользящий режим называется предельным. Если учесть неоднозначность характеристики или зону нечувствительности, то переключение реле при скользящем режиме происходит с конечной частотой, а амплитуда колебаний отличается от нуля.
Впредельном скользящем режиме релейный элемент можно заменить эквивалентным линейным безынерционным звеном с коэффициентом передачи, стре-
мящимся к бесконечности (kp→∞). Тогда эквивалентная передаточная функция системы, соответствующая структурной схеме, приведенной на рис. 6.20, а, будет
Ф
экв
(s) =
lim
kp Wлч (s)
=
1
=
1
. (6.73)
k
→ ∞1
+ kp Wлч (s) Woc (s)
Woc (s)
Tocs+1
p
195
Следовательно, для предельного скользящего режима релейную систему можно представить эквивалентной структурной схемой в виде интегрирующего звена, охваченного обратной связью, или просто в виде апериодического звена первого порядка.
При начальном положении системы x01 (точка M0 на рис. 6.22) после переключения реле в точке M1 изображающая точка по фазовой траектории типа 2 приходит в начало координат, характеризующее состояние покоя. При этом переходный процесс будет иметь минимальное время, а режим работы системы будет оптимальным по быстродействию. При заданной постоянной времени корректирующей цепи обратной связи Toc такой режим будет существовать только для определенной группы начальных значений, когда изображающая точка в начальный момент времени оказывается на траектории M0 M1 0 M '1 M '0 , проходящей через начало координат; во всех других случаях будет иметь место скользящий режим либо сразу после переключения реле, либо после нескольких переключений.
Для того чтобы процесс при любых начальных условиях был оптимальным по быстродействию, линией переключения должна быть сама фазовая траектория, проходящая через начало координат. Такая кривая линия переключения свидетельствует о нелинейном характере воздействия корректирующей обратной связи. Линия переключения не относится к фазовым траекториям. Но можно сделать так, что она будет совпадать с одной из фазовых траекторий. Тогда процесс в системе будет состоять из двух частей: подход к линии переключения по одной из траекторий, выбор которой зависит от начальных условий, и движение по линии переключения к положению равновесия.
Наглядное представление о совокупности оптимальных процессов при различных начальных условиях дает фазовый портрет, приведенный на рис. 6.23.
y
A
x
B
Рис. 6.23
196
При построении оптимальных по быстродействию систем основной задачей является формирование функции управления, характеризующей переключение релейного элемента. На рис. 6.24 приведена структурная схема системы с нелинейной обратной связью.
Рис. 6.24
В общем случае оптимальная по быстродействию система может содержать вычислительное устройство, формирующее функцию нелинейной обратной связи, логические элементы и иметь переменную структуру.
Анализ и синтез нелинейных систем, работающих под воздействием случайных сигналов, значительно усложняется по сравнению с линеаризованной системой, так как, во-первых, закон распределения случайного процесса изменяется за счет изменения коэффициента усиления нелинейного элемента в зависимости от величины входного сигнала, во-вторых, если вместе с полезным сигналом на вход системы поступает случайная помеха, то при прохождении через нелинейный элемент соотношение между ними изменяется.
Для нелинейных элементов нет простой связи между средними значениями, корреляционными функциями и спектральными плотностями случайных сигналов на его выходе и входе. Однако такую зависимость можно формально получить, если заменить нелинейное преобразование случайного сигнала некоторым эквивалентным линеаризованным преобразованием.
Оценить статистические характеристики нелинейных систем позволяет метод статистической линеаризации, основанный на замене нелинейной характеристики статистически равноценной линейной. Критериями статистической равноценности служат два принципа:
принцип равенства средних значений и дисперсий случайных процессов на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линеаризованного элемента;
197
принцип минимума средней квадратической ошибки, обусловленной заменой нелинейного элемента приближенным линеаризованным элементом.
Заменим нелинейную характеристику элемента
yн = F(x)
(6.74)
линейной зависимостью
y = k×x,
(6.75)
которая имеет такие же математическое ожидание и дисперсию на выходе. С этой целью запишем (6.75) в виде
y = k0 mx + k11 xo,
(6.76)
где xo - центрированная случайная функция.
Выберем коэффициенты k0 и k11 так, чтобы
my = k0 mx = myн ; σ 2
= k 2
σ 2
= σ 2 ,
(6.77)
y
11
x
yн
где mx, myн, my, σ 2
,σ 2
,σ 2 - математические ожидания и дисперсии сигналов.
x
yн
y
Из выражения (6.77) следует, что для статистической равноценности, исходя из равенства средних значений и дисперсий случайных процессов на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линеаризованного звена, требуется
m
k 0 = myн ; x
σ
k 11 = ± σyн , x
(6.78)
(6.79)
причем знак k11 должен совпадать со знаком производной нелинейной характеристики F(x).
Величины k0 и k11 называются коэффициентами статистической линеаризации. Для их вычисления требуется знать математическое ожидание и дисперсию сигнала на выходе нелинейного элемента:
myн =
∞
F(x)ω(x)dx ;
(6.80)
∫
−∞
σ 2
=
∞
,
(6.81)
∫ F 2 (x)ω(x)dx
yн
−∞
где ω(x) - плотность вероятности распределения случайного сигнала на входе нелинейного элемента.
Далее найдем коэффициенты статистической линеаризации на основании второго принципа, обеспечивающего наилучшее приближение корреляционной функции сигнала на выходе нелинейного элемента к корреляционной функции
198
сигнала на выходе линейного звена. Среднее значение квадрата ошибки, обусловленное заменой нелинейного элемента приближенным линеаризованным звеном, исходя из (6.74) и (6.76) определяется выражением
(6.82)
(y− y
н
)2 = k2 m2
+ k 2
σ 2
− 2 k
m
x
m
y н
− 2 k
(xoy
н
) + y2
0 x
12
x
0
12
н
и должно быть минимальным. Приравняв нулю производные от последнего выражения по k0 и k12 , запишем уравнения
2k0 m2x− 2mx my н = 0;
2 k12 σ x2 − 2(xoyн) = 0.
(6.83)
(6.84)
Следовательно, в этом случае коэффициенты статистической линеаризации вычисляются по формулам
k =
myн
;
(6.85)
0
mx
(x
o
yн)
Rxy н(0)
1
∞
) F(x)ω(x) dx .
(6.86)
k
12
=
=
=
∫ (x− m
x
σ2
Rx (0)
σ2
−∞
x
x
Таким образом, статистическая линеаризация из условия минимума средней квадратической ошибки дает то же значение коэффициента k0, которое было найдено при первом способе линеаризации; коэффициент линеаризации относительно случайной составляющей k12 другой. Рекомендуется брать их среднее арифметическое значение:
k
=
k11+ k12
.
(6.87)
1
2
Коэффициенты статистической линеаризации зависят не только от характеристик нелинейного элемента, но и от математического ожидания и дисперсии сигнала на его входе. Кроме того, для их вычисления требуется знать закон распределения случайного процесса. При прохождении случайного сигнала через замкнутую систему инерционные звенья линейной части системы приближают закон распределения к нормальному, поэтому для типовых нелинейных характеристик коэффициенты k0 и k1 могут быть заранее вычислены.
В заключение следует отметить, что метод статистической линеаризации применим к системам, в которых невозможны автоколебания. Для исследования нелинейных систем с автоколебаниями используется метод совместной статистической и гармонической линеаризации.
199
Таблицы коэффициентов статистической и совместной статистической и гармонической линеаризации для различных нелинейностей приведены в литературе.
Вопросы для самопроверки
1.Сформулируйте определение и приведите классификацию нелинейных систем. Перечислите особенности нелинейных систем.
2.Каковы основные методы исследования и расчета нелинейных систем, применяемые в инженерной практике?
3.Расскажите о прямом методе Ляпунова.
4.Объясните определение абсолютной устойчивости нелинейных систем по методу В.М.Попова.
5.В чем сущность метода гармонической линеаризации нелинейных характеристик?
6.Поясните исследование нелинейных систем на фазовой плоскости.
7.Какие средства применяются для коррекции нелинейных систем?
8.Что означает вибрационная компенсация нелинейностей?
9.В каких случаях в нелинейной системе возникает скользящий режим? Как построить систему оптимальную по быстродействию?
10.Что такое статистическая линеаризация нелинейных характеристик? Как она осуществляется?
y
