Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа

Формула Тейлора представляет собой один из основных инструментов математического анализа. Её смысл состоит в том, что функция представляется в виде, где– многочлен Тейлора,– остаточный член формулы Тейлора. В зависимости от видаона используется в различных целях: при вычислениях значений функций с заданной точностью, при исследовании асимптотического поведения функций и т.д.

Теорема 25.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа) Пусть ,, …,непрерывны в окрестноститочкии пусть всуществует. Тогда для любогосуществует точка, лежащая междуитакая, что

(1)

Примечание. В этом представлении функции величинаназываетсяостаточным членом в форме Лагранжа.

Можно выписать более общую форму Шлёмильха и Роша (Schlömilch–Roche) остаточного члена:

, (2)

где – число, удовлетворяющее неравенствам, такое, что, а– любое число. Например, остаточный член в форме Лагранжа получится, еслив этой общей форме (2). Иногда бывает удобеностаточный член в форме Коши, получаемый из (2) при :

.

Однако наиболее часто используется остаточный член в форме Лагранжа и мы докажем формулу Тейлора именно в таком виде.

◄Рассмотрим вспомогательную функцию

(3)

Поскольку эта функция получится вычитанием измногочлена от, а многочлен непрерывен и имеет непрерывные производные любого порядка, для функциисохраняются свойства функции, т.е.,, …,непрерывны висуществует в.

Пусть . Для определённости, пусть. Выберем числотак, чтобы выполнялось равенство. Это возможно, поскольку при подстановкевместов (3), это равенство примет вид линейного относительно уравнения с коэффициентом при, равным.

Теперь для применения следствия теоремы 23.2(Ролля) осталось только доказать, что выполняются равенства .

Для этого сначала вычислим -ю производную,, от функциив точке.

По формуле для производной степенной функции последовательно получаем:

, , … ,, если. В точкеэта величина обращается в 0.

Если , то.

Если же , то дальнейшее дифференцирование даст тождественный ноль. (Степень многочленаравна, т.е. он имеет вид,-кратное дифференцирование прикаждого слагаемого, входящего в этот многочлен, даёт тождественный ноль)

Итак, все производные порядка ,, функцииравны 0 в точке, а.

Равенство справедливо по выбору. Для любогоимеем, согласно доказанному выше

Все условия следствия теоремы 23.2 (Ролля ) выполнены, поэтому существует точка , такая, что. Но, значит,т.е.

(4)

Вспоминаем, что и подставляемвместов формулу (3), учитывая (4):, что означает:

, (5)

Случай, когда вполне аналогичен и приводит к такому же равенству (5). ◄

Замечание 1. Часто вместо пишут, гдеи наоборот, каждому такомусоответствует числомеждуи.

Замечание 2. Часто вместо точки пишут просто, а вместопишути формула Тейлора приобретает вид:

, (6)

Замечание 3. В случае, когда – независимая переменная, или линейная функция от независимой переменной,, и. Обозначим. При этом формула Тейлора записывается так:

(7)

Замечание 4. Особенно часто формула Тейлора используется, когда . Тогдаи

(8)

Эту формулу часто называют также формулой Маклорена (Mac-Laurin).