1. Задача о пропорциях потребления и накопления

Введем в рассмотрение следующие экономические показатели страны,

предполагая, что они заданы в условных единицах: – объем производственных фондов,– объем затрат труда (в другой интерпретации – трудовые ресурсы),– национальный доход,– объем накопления,– объем потребления. Используя производственную функцию Кобба-Дугласа, запишем:, где, а постоянныеиудовлетворяют условию. Значения(и соответственно) подбирают для экономики каждой конкретной страны. В частности, для экономики СССР использовались значения. Объемы накопления и потребления связаны с национальным доходом соотношениямии, где– норма накопления,. Будем рассматриватьпериодов планирования; для обозначения номера периода планирования используем переменную, которую также можно рассматривать как номер момента времени начала очередного периода планирования. Требуется найти оптимальную стратегию планирования, т.е. стратегию, которая позволила бы иметь к моменту временипроизводственные фонды в заданном объеме и при этом максимизировать потребление. Отметим, что средства накопления используются только на приобретение и создание производственных фондов, а влияние потребления на трудовые ресурсы в данной задаче не учитываем. В качестве управления используем норму накопления, устанавливая ее значенияв начале каждого периода планирования. Установленная норма накоплениядействует в течение-го периода планирования. Используя в качестве целевой функции суммарный за рассматриваемый периодобъем потребления, приходящийся на единицу объема трудозатрат, с учетом рассмотренных выше зависимостей сформулируем задачу о пропорциях потребления и накопления в виде задачи динамического программирования:

(4.1.2)

Здесь (норма амортизации производственных фондов),,,,,– заданные величины, причем,– производственная функция Кобба-Дугласа. Характер зависимости объема затрат трудаот временидля модели этой зависимости, использованной в (4.1.2), иллюстрируют графики, представленные на рис. 4.1.1. Эти графики свидетельствуют о достаточно широких воз-

Рис. 4.1.1. Графики зависимости объема затрат труда от времени

можностях выбора варианта динамики изменения объема трудозатрат в рамках рассматриваемой модели. Такой выбор легко осуществить путем установки соответствующих значений параметров модели. Зависимости, представленные на рис. 4.1.1, могут также рассматриваться как аппроксимации трендов, выделенных в результате обработки реализаций случайных процессов, т.е. как приближенные зависимости математического ожидания от времени.

2. Задача о замене оборудования

Задан отрезок времени длительностью лет. Требуется решить вопрос о том, когда на этом отрезке времени предприятие должно производить замену используемого оборудования с тем, чтобы обеспечить получение максимальной суммарной прибыли.

Пусть – календарные годы;– возраст оборудования (в годах), используемого в-м году;– максимально допустимый возраст оборудования;– стоимость приобретаемого оборудования;– прибыль за-й год, получаемая при использовании оборудования возраста, причем, где– стоимость, создаваемая за-й год оборудованием возраста,– годовые эксплуатационные расходы на оборудование возрастав-м году. Введем также переменную, с помощью которой выразим соответствующие управленческие решения:

Если , то. Припеременная принимает значениеили.

В соответствии с вышеизложенным, . Кроме того,

или .

Суммарная прибыль на рассматриваемом отрезке времени составит

и, таким образом, соответствующая задача динамического программирования может быть сформулирована в виде:

(4.1.3)