4.2. Метод зон Френеля

Расчет интерференции вторичных волн сводится к интегрированию, которое часто бывает затруднительным. Для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке пространства Френель предложил разбивать поверхность фронта волны на зоны (зоны Френеля) так, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения в противофазе и, вычитаясь, ослабляют друг друга.

Применим метод зон Френеля для расчета дифракции света.

Различают два случая дифракции света:

1. Дифракция Френеля или дифракция в сходящихся лучах, когда на препятствие падает плоская или сферическая волна, и дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся на конечном расстоянии от него (см. 4.3).

2. Дифракция Фраунгофера или дифракция в параллельных лучах, когда на препятствие падает плоская волна, и дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света (см. 4.4).

4.3. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске

4.3.1. Дифракция Френеля на круглом отверстии

Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника монохроматического света S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием, диаметр которого d=BC. Пусть Ф – фронт волны, который является частью поверхности сферы. Разобьем поверхность фронта на зоны Френеля (см. рис.2) так, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения М в противофазе. Тогда амплитуда результирующей волны в точке М

А=А₁-А₂+А₃-А₄+… А_m , (1)

г де А_i – амплитуда волны, пришедшей от i-ой зоны Френеля. Перед А_m берется знак плюс, если m – нечетное, и минус, если m – четное.

Величина А_i зависит от площади _i i-той зоны и угла _i между внешней нормалью к поверхности зоны в какой-либо точке и прямой, направленной из этой точки в точку М (см. рис. 2, где, в частности, показан угол ₃).

Можно показать, что все зоны Френеля примерно равновелики по площади. Увеличение же угла _i с ростом номера зоны приводит к уменьшению амплитуды А_i. Она уменьшается с ростом i также и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Таким образом, А₁>А₂>…> A_m. При большом числе зон можно приближенно считать, что А_i=(A_i-1+A_i+1)/2. (2)

Перепишем теперь (1) в виде

(3)

так как, согласно (2), все выражения, стоящие в скобках, равны нулю.

Можно показать, что общее число m зон Френеля, обращенное к точке М,

, (4)

где d=BC – диаметр отверстия, R=SO, L=OM (см. рис. 2),  – длина волны.

Если d = 1 см, R = L= 10 см и  = 500 нм, то m = 1000. В этом случае А_m<<A₁ и слагаемым А_m/2 в (3) можно пренебречь. Тогда, согласно (3),

А=А₁/2. (5)

Таким образом, амплитуда результирующей волны в точке М определяется как бы действием только половины центральной зоны Френеля. Ее диаметр d, как следует из (4) при m=1, R=L=10 см и =500 нм, равен 0,32 мм.

Следовательно, распространение света от S к М происходит так, будто пучок света распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т.е. прямолинейно.

В этом случае круговое пятно диаметром ED (см. рис. 2) равномерно освещено, и вне его наблюдается тень. Следовательно, дифракционная картина отсутствует, когда диаметр отверстия BC = d>>.

При уменьшении диаметра отверстия до величины d 1мм число зон согласно (4) уменьшается и А_m становится сравнимым с А_1, и поэтому пренебречь слагаемым А_m/2 в (3) нельзя.

При нечетном числе зон, согласно (3),

А=А₁/2 +А_m/2 (6)

и в точке М наблюдается максимум (светлое пятно).

При четном числе зон

А=А₁/2 -А_m/2 (7)

и в точке М будет наблюдаться минимум (темное пятно). Этот факт особенно наглядно противоречит закону прямолинейного распространения света.

Очевидно, что максимум и минимум будут тем сильнее отличаться друг от друга, чем ближе значение А_m к А₁, т.е. когда число зон m мало (m 10). Расчет амплитуды в других точках экрана более сложен. Можно показать, что дифракционная картина вблизи точки М имеет вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке М. По мере удаления от точки М интенсивность максимумов света убывает.

Если на пути световой волны в плоскости отверстия поставить зонную пластинку, которая перекрывала бы все четные зоны, то А=А₁+А₃+А₅+… и интенсивность I=A² в точке М резко возрастает. Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные зоны, а изменяя фазу их колебаний на , тогда А=А₁+А₂+А₃+… Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой, и использование ее позволяет получить дополнительное увеличение интенсивности в 4 раза.

Опыт подтверждает эти выводы: зонная пластинка увеличивает интенсивность в точке М, действуя подобно собирающей линзе.

4.3.2. Дифракция Френеля на небольшом диске (круглом непрозрачном экране)

Способ построения зон Френеля на открытой части волнового фронта Ф падающей монохроматической волны показан на рис. 3. Пусть диск закрывает несколько зон, действие которых не будем учитывать. Нумерацию зон начнем от первой открытой зоны, расстояние до краев которой от точки М равны L и L+/2. Последнюю открытую зону обозначим через m.

Проведя анализ, подобный предыдущему (см. 4.3.1), и полагая, что m достаточно велико, получим для амплитуды результирующей волны, выражение идентичное (5), т.е. А=А₁/2. Дифракционная картина на экране Э имеет вид концентрических темных и светлых колец с центром в точке М, где всегда находится максимум (пятно Пуассона).