6.4. Функции распределения Ферми –Дирака и Бозе –Энштейна

Фермионы и бозоны обладают различными свойствами.

Свойства фермионов:

1. Подчиняются принципу Паули: (в одном состоянии может находиться не более 1 частицы).

2. Система фермионов описывается статистикой Ферми – Дирака (см. рис.6.1)

распределение Ферми – Дирака, (6.1)

гдеf_ф– вероятность заполнения уровня одной частицей.- энергияi-го уровня,- химический потенциал (см. ниже),k- постоянная Больцмана, Т - температура.

1. При малых значениях энергии: величина, и мы получаем, что вероятность заполнения уровняf=1, т. е. такие состояния с вероятностьюf = 1заполнены одной час­тицей (больше нельзя).(см рис.6.1.)

2. При вероятность заполнения лежит в диапазоне, следовательно уровни в окрестностизаполнены частично.

3. При величина, вероятность заполнения f  0, уровни не заполнены (рис.6.1.).

Свойства бозонов:

1. Бозоны не подчиняются принципу Паули (в одном состоянии может быть много бо­зонов).

2. Система бозонов описывается статистикой Бозе – Эйнштейна(см. рис.6.2).

(6.2.)

У бозонов (т. к .иначе может быть, что лишено смысла)

Остановимся на физическом смысле химического потенциала. Первое начало термодинамики для системы с переменной массой имеет вид:

, (6.3)

где  dn- изменение энергии системы за счет изменения числа частицdn.

Отсюда следует, что

Физический смысл химического потенциала заключается в том, что он численно равен изменению внутренней энер­гии системы при увеличении системы на 1 частицу при изохорно-изоэнтропийном процессеV = const, S = const (Q= 0; dV = 0).

6.5. Понятие о вырождении.

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства за счет квантовых эффектов отличаются от свойств классических систем.

Параметром вырождения Аназывается величина

A=exp (/kT)(6.4.)

Обе квантовые статистики можно представить в виде

(6.5)

1. При А1 величинаи вкладом+1 в (6.5.) можно пренебречь. В результате получаем распреде­ление Больцмана, т. е. классическую статистику.

2. Чем выше температура, тем меньше А и тем более классическим становится распределение.

3. Температура, при которой начинаются квантовые эффекты, называется тем­пературой вырождения Тв.

При Т  Тв- газ вырожден и подчиняется квантовым статистикам.

При Т  Тв- газ не вырожден, подчиняется статистике Максвелла-Больц­мана.

Для газа температура вырождения определяется из формулы:

(6.6)

где n₀- концентрация, ħ=h/2π- постоянная Планка,m- масса частицы,k- постоян­ная Больцмана. Примеры:

1) Для водорода Тв = 1К. В обычных условиях газ водорода не вы­рожден.

2. Для свободных электронов в металлах Тв =20000К. Электроны в металлах вырождены.

3. Для газа фотонов Тв = .Газ фотонов всегда вырожден.

6.6. Вырожденный Ферми-газ в металлах

1. Рассмотрим случай Т =0.

При Т = 0 все уровни с энергиейW < ₀заполнены 1 частицей, а все уровни сW ₀– свободны (см. рис.6.3).

ЭнергияW = ₀ называется еще энергией Ферми.

Распределение Ферми при Т=0 имеет вид прямоугольника.

2. При Т 0 , (см. рис.6.1) лишь часть электронов в окрестности₀могут повышать свою энергию. Это приводит к тому, что в теплоемкости участвует лишь малая часть электронов.