Лабораторная работа № 3. Изучение законов вращательного движение при помощи маятника Обербека.

Цель работы: Экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения и определение момента инерции маятника Обербека.

1. Теоретическое введение

Для описания кинематики вращательного движения тела, по аналогии с кинематикой поступательного движения (см. теоретическое введение к предыдущей работе), вводятся понятия углового перемещения (угла поворота радиус-вектора r) , угловой скорости вращенияи углового ускорения. Связь между линейными и угловыми величинами, описывающими движение данной точки вращающегося тела, даются выражениями:

и [1]

Для характеристики инерционности тела при вращении вводятся понятия момента инерции материальной точки массы m, находящейся на расстоянии r от оси вращения и момент инерции тела, равный сумме моментов инерциивсех материальных точек составляющих тело - сумме произведений массэтих точек на квадрат расстояния до оси:

[2]

Нахождение момента инерции во многих случаях значительно облегчается при использовании теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерцииотносительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы телаm на квадрат расстояния между осями:

[3]

Для описания вращательного движения под действием той или иной силы важна не только величина силы, но, также то, к какой точке тела она приложена. Поэтому вместо силы f , при вращательном движении используют величину момента силы относительно данной оси вращения:

[4]

где - плечо силы, кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения.

В зависимости от направления вращения, создаваемой силой, величине момента приписывается знак плюс или минус (в соответствии с правилом правого винта). Если к телу одновременно приложены моменты нескольких сил, то они складываются, с учетом знака.

Основной закон динамики вращательного движения (аналог второго закона Ньютона) связывает результирующий момент сил , действующих на тело и его угловое ускорение (аналог линейного ускорения):

[5]

где J – момент инерции тела, относительно оси вращения, определяемый выражением [2], - момент сил, приложенных к телу, относительно той же оси вращения (определяется выражением [4]).

Описание установки и расчетные формулы.

Для изучения основного закона динамики вращательного движения в данной работе используется маятник Обербека, схема которого изображена на рис. 1.

Маятник состоит из четырех стержней 1, укрепленных во втулке. На стержнях, на расстоянииот оси, закрепляются грузы 2, перемещая которые, можно менять момент инерции маятника. На одной оси с маятником насажены два шкива: большего 3 и меньшего 4 радиусаr. Гиря 5, приводящая тело во вращение, прикреплена к концу нити, которая наматывается на шкив 3 или 4. На основную гирю 5 могут надеваться от одного до четырех дополнительных грузов 6. Для фиксации времени и остановки опускания груза 5, служит фотодатчик 7.

Вращение маятника происходит под действием момента силы натяжения нити М противоположно направлению момента сил трения . Таким образом, согласно равенству [5] уравнение движения маятника имеет вид:

или [6]

Из равенства [6] видно, что если сила трения постоянна (не зависит от скорости), то зависимость величины М от  является линейной функцией вида: . При этом J играет роль углового коэффициента k. Таким образом, экспериментальное исследование взаимосвязи между моментом силы натяжения М и угловым ускорением  позволяет найти момент инерции маятника J.

Движение гири 5 происходит под действием силы тяжести тg, где т - масса гири; g - ускорение свободного падения, и силы натяжения нити T. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения гири имеет вид:

[7]

Ускорение движения гири а, можно найти, с одной стороны, зная время t её опускания и пройденный путь h, с другой стороны, по значению ε - углового ускорения вращения шкива и r - радиуса шкива.

откуда [8]

Из уравнений [7] и [8] получаем выражение для определения момента силы натяжения нити, относительно оси вращения (массой блока и трением на оси блока пренебрегаем):

[9]

Формулы [8] и [9] позволяют найти, по экспериментальным данным, угловое ускорение  и момент силы натяжения М. Проведя опыты с гирями различной массы m, находим ряд точек . Строим точки на графике, откладывая по вертикальной оси моменты сил натяжения, а по горизонтальной оси, соответствующие им угловые ускорения.Если формула [6] верна, то экспериментальные точки должны хорошо укладываться на прямую линию. Определение момента инерции маятника сводится к определению углового коэффициента прямой линии, проведенной по найденным точкам.

Следуя рекомендациям по графическому определению параметров прямой линии, приведенным во введении §2, проводим наилучшую прямую и определяем среднюю величину экспериментального значения момента инерции маятника Обербека :

[10]

Интервала надежности полученного значения можно оценить по правилам расчета погрешности косвенного измерения, зная инструментальную погрешность определенияh (миллиметровая линейка, мм ) и погрешность определения времени t (электронный таймер, с):

[11]

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от выбора интервала надежности (доверительной вероятности) p и числа измерений n.

Записываем результат в виде: ;p = ;

2. Выполнение работы

Приборы и принадлежности:

1. Маятник Обербека на стойке с фотодатчиком и секундомером

2. Гиря и 4 добавочных груза

3. 4 груза (равной массы), насаженных на спицы маятника.

4. Штангенциркуль.

Выровнять стойку так, чтобы гиря при опускании не задевала фотоэлементы. Расположить фотодатчик 7 таким образом, чтобы гиря с дополнительными грузами при движении вниз проходила по центру рабочего окна фотодатчика.

1. Установить все грузы по осям крестовины на одном расстоянии = 14 см от оси вращения. Измерить штангенциркулем радиусышкивов 3 и 4, записать в таблицу.

2. Вращая маятник и наматывая нить на шкив 3 (или 4), установить гирю 5 в крайнем верхнем положении таким образом, чтобы нижняя плоскость гири совпала с одной из рисок шкалы вертикальной стойки. Зафиксировать гирю в этом положении, нажав на кнопку «СЕТЬ» блока.

3. Определить по шкале вертикальной стойки и записать в таблицу, путь гири h - расстояние от нижней плоскости гири в верхнем положении до оптической оси фотодатчика.

4. Нажать на кнопку «ПУСК» блока. При пересечении гирей оптической оси фотодатчика отсчет времени прекратится. Записать время движения гири t в таблицу и нажать клавишу «СБРОС».

5. Повторить пункты 2 - 4 увеличивая массу гири m с помощью дополнительных грузов 6, не изменяя значения h. Всего провести не менее 10-ти измерений (5 со шкивом 3 и 5 со шкивом 4) .

6. По формулам [8] и [9] рассчитать значения ε и М. Построить график функции . Пользуясь графиком, по формуле [10], определить момент инерции и, по формуле [11], оценить интервал надежности(полагая, где- наибольшее значение в таблице). Записать результат в таблицу, в стандартном виде.

7. Повторить пункты 1 - 7 при двух других значениях расстояний грузов от оси вращения на осях крестовины ( 11 см и 9 см).

8. Построить график зависимости , если верна теорема Штейнера (формула [3]), то точки должны хорошо ложиться на прямую линию. Провести прямую линию и найти значение момента инерции маятника без грузовJ_с (по точке пересечения проведенной прямой с осью ординат), записать это значение в таблицу результатов.

Таблица результатов

№ опыта

r, мм

h, мм

m, г

= 14 см

= 11 см

= 9 см

t, c

ε, c-2

М, Н∙м

t, c

ε, c-2

М, Н∙м

t, c

ε, c-2

М, Н∙м

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

J, кг∙м2

Jс, кг∙м2

Контрольные вопросы.

1. Понятия момента инерции материальной точки, момента инерции тела и единица измерения момента инерции в системе СИ.

2. Как вычислить момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела, относительно произвольной оси?

3. Как можно изменить момент инерции маятника Обербека?

4. Угловое ускорение тела вращающегося вокруг оси и единица ее измерения.

5. Связь углового и тангенциального ускорения при вращательном движения.

6. Как определяется момент силы, и в каких единицах его измеряют?

7. Как можно изменить момент силы, приводящий во вращение маятник Обербека?

8. Основное уравнение динамики вращательного движения. Записать в математическом виде.

9. Какие силы действуют на маятник Обербека и груз во время движения? Показать силы на рисунке и написать уравнения движения маятника.

10. Как графически определить момент инерции маятника Обербека в данной работе и оценить интервал надежности?

Литература. Курс общей физики под ред. Савельева И. В. т. 1.