Решение типового варианта

1. .

Воспользуемся первым замечательным пределом (3) предварительно сведя к нему исходное выражение

=

2. =

=.

3. ,

.

4. .

Сведем исходный предел ко второму замечательному пределу (4)

.

5. .

Воспользуемся другой формой записи второго замечательного предела (4’).

.

4. Сравнение и эквивалентность бесконечно малых функций Бесконечно малая функция

Определение. Если (т.е. для любогосуществует, такое, что присправедливо неравенство) тоназываетсябесконечно малой функцией при . Для сравнения двух бесконечно малыхипринаходят предел их отношения

. (5)

если , то- бесконечно малая более высокого порядка, чем;

если , то- бесконечно малая более низкого порядка, чем;

если , тои- бесконечно малые одного порядка;

если , тоиназываютсяэквивалентными величинами: ~.

Примеры эквивалентных б.м.в (при )

~

~

~

~

~

~

~

~

~

Для раскрытия неопределенности вида можно воспользоваться следующим правилом: если~;~прито верны равенства:

АЗ-4

1. Сравнить функции ипри

а) ,; б),;

в) ,; г),.

2. Доказать, что функцию иприявляется бесконечно малыми одного порядка.

данные функции одного порядка малости ч.т.д.

3. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

а) б)

в) г)

д) е)

ж)

ИДЗ-4

Задание 1. Сравнить бесконечно малые функции ипри

№ вар			№ вар
1.			16.
2.			17.
3.			18.
4.			19.
5.			20.
6.			21.
7.			22.
8.			23.
9.			24.
10.			25.
11.			26.
12.			27.
13.			28.
14.			29.
15.			30.

Задание 2. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые

1.		11.		21.
2.		12.		22.
3.		13.		23.
4.		14.		24.
5.		15.		25.
6.		16.		26.
7.		17.		27.
8.		18.		28.
9.		19.		29.
10.		20.		30.

Задание 3.* Вычислить пределы функций

1.	11.	21.
2.	12.	22.
3.	13.	23.
4.	14.	24.
5.	15.	25.
6.	16.	26.
7.	17.	27.
8.	18.	28.
9.	19.	29.
10.	20.	30.

Решение типового варианта

Задание 1. Сравнить бесконечно малые функции

и при

Решение. Находим

- бесконечно малая более низкого порядка по сравнению с .

Задание 2. Найти пределы, используя эквивалентность бесконечно малых

Задание 3. Вычислить предел функции

а)

Запишем каки перейдем к эквивалентной бесконечно малой~, получаем

.

б)

Запишем как~

как~, получим

.