3.3. Пример расчета цепи переменного тока методом векторных диаграмм

Задача: для неразветвленной цепи переменного тока определить величины всех сопротивлений, а также cos, , P, Q, S, I. Построить в масштабе векторную диаграмму.

Вопрос: какое явление возникает в такой цепи при X_С1 = X_L1?

Дано: U₁ = 10 В, U₂ = 40 В, U₃ = 8 В,

U₄ = 8 B, U₅ = 6 В, Q = -64 вар.

Решение

Рис.16

Так как известна реактивная мощность данной цепи и все падения напряжений в ней, то, определив реактивную составляющую напряжения U_p = U₂ + U₄, U_p = -40 + 8 = -32 (B), и используя формулу Q = U_pI, определим ток, протекающий в цепи: I = Q/U_p, I = -64/-32 = 2 (А).

Теперь, зная ток, по закону Ома находим значения всех сопротивлений:

R₁ = U₁/I = 10/2 = 5 (Ом);

X_c1 = U₂/I = -40/2 = -20 (Ом);

R₂ = U₃/I = 8/2 = 4 (Ом);

X_L1 = U₄/I = 8/2 = 4 (Ом);

R₃ = U₅/I = 6/2 = 3 (Ом).

Далее:

cos = R/Z = 12/20 = 0,6; S = ZI² = 80 ВА;  = 53;

P = RI² = 122² = 48 или .

П

остроим векторную диаграмму, приняв:

m_i = 1A/20 мм, m_u = 1 B/мм.

Рис.17

Ответ на теоретический вопрос: равенство X_С1 = X_L1 - есть условие возникновения в данной цепи резонанса напряжений.

4. Расчетно-графические работы 4а, б

4.1. Справочные данные и методические указания для выполнения ргр – 4а,б;5.

4.1.1. Операции с комплексными числами

В основу комплексного метода расчета положено представление синусоидальных токов и напряжений, изображающими их комплексными величинами (символами). Комплексный метод предусматривает расчет электрических цепей, где все напряжения и токи изменяются по синусоидальному закону: u = U_msin(t + _u); i = I_msin(t + _i) (рис.18).

Операции с ними значительно облегчаются, если применять вращающиеся векторы на комплексной плоскости, изображающие синусоидальные функции времени. Их строят в момент времени t = 0, когда аргументом синуса является начальная фаза . Длина вектора либо ,(комплексная амплитуда,), либо,(комплексное действующее значение).

По правилам тригонометрии эти значения можно изобразить на плоскости в виде радиус-векторов:

Рис.18

а

- координата на вещественной оси, b – на мнимой. = а + jb, где - мнимая единица.

Координаты точки А могут быть выражены через длину вектора ОА и угол : a = Acos; b = Asin; то есть = A (cos + jsin), - модуль комплексного числа, равный длине вектора А, = arctg(b/a) – угол поворота вектора – аргумент комплексного числа. По формуле Эйлера: cos + jsin = e^j, тогда =А e^j, где e^j - поворотный множитель, указывающий на какой угол по отношению к вещественной оси должен быть повернут вектор А.

Вектор тока на комплексной плоскости может быть также аналитически описан либо = I_вещ + jI_мним – алгебраическая форма записи, либо =Ie^j (

I – модуль вектора) – показательная форма записи. Алгебраическая форма записи применяется при сложении и вычитании комплексных чисел, показательная при умножении, делении, возведении в степень. Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формулам прямоугольного треугольника:

= a + jb, a = Icos, b = Isin, =Ie^j ;

;  = arctg(b/a), i = I_msin(t + _i), .

Сущность комплексного метода расчета состоит в том, что для режима синусоидального тока можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений, являющихся, по сути, интегро-дифференциальными, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Для данной электрической цепи (рис.19) уравнение для мгновенных значений по2-му закону Кирхгофа имеет вид: u_R + u_L + u_C = e или iR + L(di/dt) + (1/С)=e.

Рис.19

Переход основан на том, что мгновенные значения тока i заменяют комплексной амплитудой (доумножив правую и левую часть уравнения на мнимую единицу), мгновенное значение напряжения на активном элементеR равно R_i = R, на индуктивном U_L = L(di/dt) = jL , на емкостномU_C = 1/C= -j/С.

Уравнение в комплексной форме имеет вид:

R + jL-j/C = ; ,,

то есть, становится возможным найти комплексную амплитуду через комплексную амплитудуи сопротивление цепи. МножительR + jL - j/C = Z имеет размерность сопротивления. Примем L = Х_L – реактивное сопротивление катушки, 1/C = Х_C – то же конденсатора; X = X_L – X_C – реактивное сопротивление участка цепи;

 = arctg(X/R) – аргумент.

Запишем: R + j(X_L – X_C) = R + j = Ze^j;

;

Z = X/sin = R/cos; Z = Ze^j

–по закону Ома для цепи синусоидального тока.

Мощность такой цепи в комплексной форме равна произведению комплекса напряжения на сопряженный комплексный ток:

,

где - сопряженный комплекс тока; если число равно (a + jb), то число, сопряженное с ним – (a – jb), в показательной форме:

= Ie^j, ;

,

г

де = _u - _i – сдвиг фаз между ив цепи.

Согласно формуле Эйлера: S = UIcos + j UIsin = P  jQ;

P = I²R – энергия, выделяющаяся в единицу времени в виде тепла на сопротивлении R;

Q = I²X – мощность, характеризует ту энергию, которой обмениваются источник ЭДС и приемник энергии, она может быть как положительной, так и отрицательной: S = P + jQ – если в цепи преобладает индуктивное сопротивление 0 и S = P - jQ – если в цепи преобладает емкостное сопротивление   0;

Комплексный метод расчета, базирующийся на теории комплексных чисел, довольно прост и позволяет добиваться высокой точности. Все графические методы расчета электрических цепей синусоидального тока, в том числе и метод векторных диаграмм, не могут обеспечить высокой точности или очень сложны и трудоемки. Даже при незначительном изменении одного из параметров сложной электрической цепи для определения токов в ветвях и падения напряжения на участках цепи необходимо строить новую векторную диаграмму. Из векторной диаграммы нельзя делать заключений общего характера.