Пример 4.1

Оценим устойчивость системы первого порядка, передаточная функция которой имеет вид:

Ее характеристическое уравнение, Tp + 1 = 0 , имеет только один корень , который будет отрицательным при Т > 0 .

Следовательно, положительность коэффициентов характеристического уравнения для системы 1-го порядка является необходимым и достаточным условием устойчивости.

Пример 4.2

Получим условия устойчивости для системы 2-го порядка:

Запишем ее характеристическое уравнение,

+ 2dTp + 1 = 0,

и определим корни:

Они будут иметь отрицательную вещественную часть, когда знаки коэффициентов d и T совпадают.

Таким образом, положительность коэффициентов характеристического уравнения для системы 2-го порядка также является необходимым и достаточным условием устойчивости.

4.3. Критерии устойчивости

Точно вычислить корни можно лишь для систем не выше 4-го порядка, поэтому были разработаны критерии, которые позволяют оценить устойчивость (то есть отрицательность вещественной части корней) по характеристическому уравнению или частотной характеристике. Их называют критериями устойчивости.

4.3.1. Критерий устойчивости Гурвица

Это алгебраический критерий, который предполагает рассмотрение характеристического уравнения в стандартной форме (4.11):

Из его коэффициентов по следующему правилу составляется матрица

Гурвица:

на главной диагонали сверху вниз выписываются по порядку коэффициенты характеристического уравнения от a_n до a₁ включительно. В каждом столбце вниз от диагонали записывают коэффициенты при возрастающих степенях оператора p, вверх - при убывающих степенях p. Недостающие элементы в столбце дополняются нулями.

(4.13)

dim H = n  n . Приведем без доказательства критерий Гурвица.

Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все n определителей, получаемых из матрицы Гурвица H были положительны.

(4.14)

Здесь

. . .

Условие границы устойчивости согласно критерию Гурвица имеет вид:

(4.15)

Пример 4.3

Оценить устойчивость системы 3-го порядка, дифференциальное уравнение которой имеет вид:

Запишем характеристическое уравнение

и составим матрицу Гурвица для этой системы:

Условия устойчивости системы в соответствии с критерием Гурвица следующие:

Поскольку положительность всех коэффициентов характеристического уравнения следует из необходимого условия, то условие устойчивости системы 3-го порядка принимает вид: