Системы дифференциальных уравнений

Пример 34. Найти общее решение системы (см. М-1540, стр. 40–41).

Решение. Пусть ,, подставим эти значения в систему:

.

Получим систему линейных уравнений относительно . Чтобы эта система имела ненулевые (нетривиальные) решения, ее определитель должен быть равен нулю:

.

Это уравнение называется характеристическим и имеет два корня . Возьмем сначала и подставим в последнюю систему:

.

Полагая , найдеми тогда,. Пусть теперьи тогда

.

Выбирая , найдеми тогда,. Можно показать, что общим решением системы будет пара функцийи:

, , гдеи– произвольные постоянные.

46